Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2023

El péndulo de segundos es un péndulo cuyo periodo en la Tierra es, precisamente, dos segundos (un segundo para el camino de ida y un segundo para el de vuelta). Si se llevara uno a la Luna podríamos encontrar los siguientes periodos, medidos en segundos:

$T_1$	$T_2$	$T_3$	$T_4$ 4,92	4,97	4,91	4,90

Determine la gravedad en la Luna a partir de los datos.

El razonamiento tiene dos fases: primero se obtiene la longitud del péndulo a partir de su comportamiento en la Tierra, y después se usa esa longitud, junto con los periodos medidos, para calcular la gravedad lunar.

i) El periodo de un péndulo simple es:

$T=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{L}{g}}}$

Por definición, el péndulo de segundos tiene un periodo de $2\text{ s}$ en la Tierra, de modo que su longitud es:

$L={\displaystyle \frac{g_T{T}_T^2}{4{\pi }^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{9,8}\cdot 2^2}{4{\pi }^2}}=\mathrm{0,993}\text{ m}$

Prácticamente un metro, que es la característica que hizo célebre a este péndulo.

ii) La longitud no cambia al llevarlo a la Luna, así que basta sustituir el periodo medido allí. Se toma la media aritmética de las cuatro medidas, que reduce el efecto de los errores accidentales:

$\overline{T_L}={\displaystyle \frac{\mathrm{4,92}+\mathrm{4,97}+\mathrm{4,91}+\mathrm{4,90}}{4}}=\mathrm{4,925}\text{ s}$

$g_L={\displaystyle \frac{4{\pi }^{2}L}{{\overline{T_L}}^2}}={\displaystyle \frac{4{\pi }^2\cdot \mathrm{0,993}}{{\mathrm{4,925}}^2}}$

$g_L=\mathrm{1,62}{\text{m/s}}^2$

La gravedad en la superficie de la Luna resulta ser de $\mathrm{1,62}{\text{m/s}}^2$, aproximadamente la sexta parte de la terrestre, que es el valor conocido. El resultado se podía anticipar sin cuentas: el periodo se ha multiplicado por unos $\mathrm{2,46}$, y como el periodo va con $1\mathrm{/}\sqrt{g}$, la gravedad tiene que haberse dividido por ${\mathrm{2,46}}^2\approx 6$.