Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2023

La siguiente ecuación describe un movimiento armónico simple de una masa de 2 kg colgada de un muelle: $A(t)=5\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(14\pi t-\pi \mathrm{/}2)$, expresada en milímetros.

a) Obtenga la frecuencia angular y el periodo de la oscilación. [1 punto]

b) ¿En qué momento o momentos del movimiento adquirirá su velocidad máxima? Calcúlela. [0,75 puntos]

c) Obtenga la energía mecánica del oscilador para el punto en el que la velocidad es máxima. [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{angular}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{oscilaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se compara la ecuación del enunciado con la ecuación general de la elongación de un movimiento armónico simple:

$A(t)=5\text{sen}(14\pi t-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})x(t)=A\text{sen}(\omega t+{\phi }_0)$

Identificando términos, la frecuencia angular es el coeficiente que multiplica al tiempo dentro del seno:

$\omega =14\pi =\mathrm{43,98}\text{ rad/s}$

Y el periodo se obtiene de ella:

$T={\displaystyle \frac{2\pi }{\omega }}={\displaystyle \frac{2\pi }{14\pi }}=\mathrm{0,143}\text{ s}$

La oscilación tiene una frecuencia angular de $\mathrm{43,98}\text{ rad/s}$ y un periodo de $\mathrm{0,143}\text{ s}$, es decir, siete oscilaciones por segundo.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{momento}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{momentos}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{movimiento}}\mathbf{\text{adquirir}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima?}}\mathbf{\text{Calc}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{lela.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$










La velocidad es la derivada de la elongación:

$v(t)={\displaystyle \frac{dx}{dt}}=A\omega \cos (\omega t+{\phi }_0)$

y su valor absoluto es máximo cuando el coseno vale $\pm 1$, es decir, cuando el seno se anula: al pasar por la posición de equilibrio.





Eso ocurre dos veces en cada oscilación, en los instantes múltiplos impares de un cuarto de periodo medidos desde que la partícula está en un extremo. En la gráfica son los puntos en que la curva corta al eje de tiempos.

El valor de esa velocidad máxima es:

$v_{\max }=A\omega =5\cdot 14\pi =\mathrm{2,20}\cdot {10}^2\text{ mm/s}$

$v_{\max }=\mathrm{0,220}\text{ m/s}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{mec}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nica}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{oscilador}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

En un movimiento armónico simple la energía mecánica es constante, así que su valor es el mismo en todos los puntos; en el de velocidad máxima resulta especialmente cómodo calcularla, porque ahí toda la energía es cinética.

Primero se necesita la constante elástica, que sale de la frecuencia angular:

$\omega =\sqrt{{\displaystyle \frac{k}{m}}}\Rightarrow k=m{\omega }^2=2{\left(14\pi \right)}^2=\mathrm{3,87}\cdot {10}^3\text{ N/m}$

Y con ella la energía mecánica, que es la energía potencial elástica en el punto de elongación máxima:

$E_m={\displaystyle \frac{1}{2}}k{A}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{3,87}\cdot {10}^3\cdot {(5\cdot {10}^{-3})}^2=\mathrm{4,84}\cdot {10}^{-2}\text{ J}$

La energía mecánica del oscilador es de $\mathrm{4,84}\cdot {10}^{-2}\text{ J}$. Se obtiene el mismo valor calculando la energía cinética con la velocidad máxima, $\frac{1}{2}m{v}_{\max }^{}$, porque en ese punto la energía potencial es nula.