Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2021

Una masa de 3 kg está unida a un muelle horizontal cuya constante recuperadora es $K=12\text{ N}\mathrm{/}\text{m}$. El muelle se estira 4 cm desde la posición de equilibrio ($x=0$) y se deja en libertad. Determine:

a) La expresión de la posición de la masa en función del tiempo, $x=x(t)$, considerando $t=0$ cuando atraviesa el punto en el que la velocidad es máxima. [0,5 puntos]

b) Los módulos de la velocidad y de la aceleración de la masa en un punto situado a 2 cm de la posición de equilibrio. [1 punto]

c) La energía mecánica del sistema oscilante. [1 punto]

La masa unida al muelle describe un movimiento armónico simple cuya frecuencia angular depende solo de la constante recuperadora y de la masa:

$\omega =\sqrt{{\displaystyle \frac{K}{m}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{12}{3}}}=2\text{ rad/s}$

La amplitud es la separación máxima respecto del equilibrio, es decir, lo que se ha estirado el muelle antes de soltarlo:

$A=4\text{ cm}=\mathrm{0,04}\text{ m}$

La velocidad es máxima al pasar por la posición de equilibrio, así que en $t=0$ la elongación es nula. La función que cumple esa condición es un seno con fase inicial nula:

$x(t)=A\text{sen}(\omega t)=\mathrm{0,04}\text{sen}(2t)\text{ m}$



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Los}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{dulos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{situado}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{cm}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{equilibrio.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La velocidad de un movimiento armónico simple en función de la elongación es:

$v=\omega \sqrt{A^2-x^2}$

$v=2\sqrt{{\mathrm{0,04}}^2-{\mathrm{0,02}}^2}=2\sqrt{\mathrm{1,2}\cdot {10}^{-3}}=\mathrm{6,93}\cdot {10}^{-2}\text{ m/s}$

La aceleración es proporcional a la elongación y de signo contrario, que es la propiedad que define al movimiento armónico simple:

$a=-{\omega }^{2}x\Rightarrow \mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=2^2\cdot \mathrm{0,02}=\mathrm{8,0}\cdot {10}^{-2}{\text{m/s}}^2$

A 2 cm del equilibrio la masa se mueve a $\mathrm{6,93}\cdot {10}^{-2}\text{ m/s}$ con una aceleración de módulo $\mathrm{8,0}\cdot {10}^{-2}{\text{m/s}}^2$, dirigida hacia la posición de equilibrio.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{mec}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nica}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{oscilante.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

En un movimiento armónico simple la energía mecánica es constante, y coincide con la energía potencial elástica en el punto de elongación máxima, donde la velocidad es nula:

$E_m={\displaystyle \frac{1}{2}}K{A}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 12\cdot {\mathrm{0,04}}^2$

$E_m=\mathrm{9,6}\cdot {10}^{-3}\text{ J}$

La energía mecánica del sistema es de $\mathrm{9,6}\cdot {10}^{-3}\text{ J}$. Puede comprobarse con los datos del apartado anterior: la suma de la energía cinética y la potencial en $x=\mathrm{0,02}\text{ m}$ da ese mismo valor.