Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2020

En el laboratorio se está realizando una práctica con un muelle colgado verticalmente de un soporte fijo.

a) Al colgar una pesa de masa $m=100\text{ g}$ de su extremo inferior, se observa que el alargamiento del muelle en equilibrio es $\mathrm{\Delta }L=\mathrm{10,4}\text{ cm}$. Si se sustituye la pesa por otra de masa $m^{\mathrm{\prime }}=250\text{ g}$, ¿cuál se espera que sea el nuevo alargamiento en equilibrio? [1 punto]

b) Se suspende ahora del muelle una tercera pesa de masa desconocida. Tras dar un pequeño empujón vertical a la pesa, se cronometra el tiempo que tarda en realizar 10 oscilaciones completas y se obtienen 7,9 s. Supuesto que la masa del muelle es despreciable, ¿cuál será la masa de esa pesa? [1,5 puntos]

Dato: $g=\mathrm{9,8}\text{ m}\mathrm{/}{\text{s}}^2$.

Con la pesa colgada y en reposo, la fuerza elástica del muelle equilibra al peso. Por la ley de Hooke:

$k\mathrm{\Delta }L=mg\Rightarrow k={\displaystyle \frac{mg}{\mathrm{\Delta }L}}$

$k={\displaystyle \frac{\mathrm{0,100}\cdot \mathrm{9,8}}{\mathrm{0,104}}}=\mathrm{9,42}\text{ N/m}$





La constante elástica es una propiedad del muelle y no cambia al cambiar la pesa, así que basta repetir el equilibrio con la nueva masa:

$\mathrm{\Delta }{L}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{m^{\mathrm{\prime }}g}{k}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,250}\cdot \mathrm{9,8}}{\mathrm{9,42}}}$

$\mathrm{\Delta }{L}^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{0,26}\text{ m}$

El nuevo alargamiento es de $\mathrm{0,26}\text{ m}$, es decir, 26 cm. El resultado se podía anticipar sin calcular la constante: el alargamiento es directamente proporcional a la masa, y 250 g son dos veces y media 100 g, así que $\mathrm{2,5}\cdot \mathrm{10,4}=26\text{ cm}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{suspende}}\mathbf{\text{ahora}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{muelle}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{tercera}}\mathbf{\text{pesa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{desconocida.}}\mathbf{\text{Tras}}\mathbf{\text{dar}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{peque}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{empuj}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{vertical}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pesa,}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{cronometra}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tarda}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{realizar}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{oscilaciones}}\mathbf{\text{completas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{obtienen}}\mathbf{\text{7,9}}\mathbf{\text{s.}}\mathbf{\text{Supuesto}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{muelle}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{despreciable,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{pesa?}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El periodo es el tiempo de una oscilación completa, así que se obtiene dividiendo el tiempo medido entre el número de oscilaciones. Cronometrar diez y dividir es, precisamente, la forma de reducir el error de medida:

$T={\displaystyle \frac{\mathrm{7,9}}{10}}=\mathrm{0,79}\text{ s}$

Una masa colgada de un muelle ideal describe un movimiento armónico simple de periodo:

$T=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{m}{k}}}$

Se despeja la masa:

$m={\displaystyle \frac{k{T}^2}{4{\pi }^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{9,42}\cdot {\mathrm{0,79}}^2}{4{\pi }^2}}$

$m=\mathrm{0,149}\text{ kg}$

La masa de la tercera pesa es de $\mathrm{0,149}\text{ kg}$, unos 149 g. Conviene subrayar que este método de pesar no necesita la gravedad: mide masa inercial y funcionaría igual en la Luna o en una estación espacial, mientras que el del apartado a) depende de $g$.