Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2025

La expresión de un M.A.S. es $x(t)=\mathrm{0,85}\cos (\mathrm{1,5}\pi t+\varphi )\mathrm{m}$. ¿Cuál es el valor de la fase inicial $\varphi$ para que se cumpla que $x(1)=\mathrm{0,3}\mathrm{m}$? [0,35 puntos]

Determine el periodo de la oscilación [0,2 puntos] y la velocidad máxima. [0,2 puntos]

Se impone la condición del enunciado en la ecuación del movimiento:

$x(1)=\mathrm{0,85}\cos (\mathrm{1,5}\pi \cdot 1+\varphi )=\mathrm{0,3}$

Se despeja el coseno y se toma el arco coseno:

$\cos (\mathrm{1,5}\pi +\varphi )={\displaystyle \frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,85}}}=\mathrm{0,353}$

$\mathrm{1,5}\pi +\varphi =\arccos \left(\mathrm{0,353}\right)=\mathrm{1,21}\text{ rad}$

$\varphi =\mathrm{1,21}-\mathrm{1,5}\pi =-\mathrm{3,50}\text{ rad}$

La fase inicial vale $\varphi =-\mathrm{3,50}\text{ rad}$. El arco coseno tiene dos ramas, así que $\varphi =-\mathrm{1,21}-\mathrm{1,5}\pi$ también cumple la condición; las dos describen el mismo movimiento pasando por ese punto en sentidos contrarios.

$\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{oscilaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[0,2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La frecuencia angular es el coeficiente que multiplica al tiempo dentro del coseno, $\omega =\mathrm{1,5}\pi \text{ rad/s}$, y el periodo es su inverso salvo el factor $2\pi$:

$T={\displaystyle \frac{2\pi }{\omega }}={\displaystyle \frac{2\pi }{\mathrm{1,5}\pi }}=\mathrm{1,33}\text{ s}$

El periodo de la oscilación es de $\mathrm{1,33}\text{ s}$.

$\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima.}}\mathbf{\text{[0,2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La velocidad de un movimiento armónico simple es la derivada de la elongación:

$v(t)={\displaystyle \frac{dx}{dt}}=-A\omega \text{sen}(\omega t+\varphi )$

Su valor máximo se alcanza cuando el seno vale $\pm 1$, es decir, al pasar por la posición de equilibrio:

$v_{\max }=A\omega =\mathrm{0,85}\cdot \mathrm{1,5}\pi =\mathrm{4,01}\text{ m/s}$

La velocidad máxima es de $\mathrm{4,01}\text{ m/s}$, y se alcanza en el centro de la oscilación, donde la elongación es nula.