Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2020

A.1.- Un cuerpo se está moviendo con movimiento armónico simple, según la siguiente ecuación:
$x=\mathrm{0,03}\sin (3t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$, en unidades del sistema SI.
Calcular:

a) El valor de la elongación en el instante $t=\pi s$
b) El periodo y la frecuencia.
c) La velocidad del cuerpo en el instante $t={\displaystyle \frac{\pi }{2}}s$

Comparando la ecuación del enunciado con la forma general del movimiento armónico simple, $x=A\mathrm{sen}(\omega t+{\varphi }_0)$, se identifican:

$A=\mathrm{0,03}\text{ m };\omega =3\text{ rad/s };{\varphi }_0={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{ rad}$



Basta sustituir el instante en la ecuación, con el argumento en radianes:

$x(\pi )=\mathrm{0,03}\mathrm{sen}(3\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=\mathrm{0,03}\mathrm{sen}{\displaystyle \frac{7\pi }{2}}$

${\displaystyle \frac{7\pi }{2}}-2\pi ={\displaystyle \frac{3\pi }{2}}\Rightarrow \mathrm{sen}{\displaystyle \frac{7\pi }{2}}=-1$

$x=-\mathrm{0,03}\text{ m}$

En ese instante el cuerpo se encuentra en $-\mathrm{0,03}\text{ m}$, es decir, en el extremo negativo de su trayectoria: su elongación coincide con la amplitud cambiada de signo, de manera que está momentáneamente en reposo antes de invertir el sentido.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{frecuencia.}}$

Ambos se deducen de la frecuencia angular:

$T={\displaystyle \frac{2\pi }{\omega }}={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}=\mathrm{2,09}\text{ s}$

$f={\displaystyle \frac{1}{T}}={\displaystyle \frac{3}{2\pi }}=\mathrm{0,48}\text{ Hz}$

El periodo del movimiento es de $\mathrm{2,09}\text{ s}$ y su frecuencia, de $\mathrm{0,48}\text{ Hz}$: el cuerpo completa algo menos de media oscilación por segundo.



La velocidad se obtiene derivando la elongación respecto del tiempo:

$v={\displaystyle \frac{dx}{dt}}=A\omega \cos (\omega t+{\varphi }_0)=\mathrm{0,09}\cos (3t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

$v\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=\mathrm{0,09}\cos ({\displaystyle \frac{3\pi }{2}}+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=\mathrm{0,09}\cos 2\pi$

$v=\mathrm{0,09}\text{ m/s}$

La velocidad del cuerpo es de $\mathrm{0,09}\text{ m/s}$ en el sentido positivo del eje. Coincide con la velocidad máxima, $A\omega$, porque en ese instante el cuerpo pasa justo por la posición de equilibrio; es también, exactamente, medio periodo antes del instante del apartado a), en el que estaba detenido en un extremo.