Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2022

B.1.-Movimiento armónico simple. Ejemplos. Ecuación. Definición de las magnitudes. Ecuaciones de la velocidad y de la aceleración.

$\mathbf{\text{Movimiento}}\mathbf{\text{arm}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{nico}}\mathbf{\text{simple.}}\mathbf{\text{Ejemplos.}}$

Se llama movimiento armónico simple al movimiento periódico y oscilatorio que describe una partícula sometida a una fuerza recuperadora proporcional a su desplazamiento respecto de la posición de equilibrio y dirigida siempre hacia ella:

$F=-kx$

El signo negativo expresa que la fuerza se opone siempre al desplazamiento, y $k$ es la constante recuperadora, que se mide en $\text{N/m}$. Aplicando la segunda ley de Newton se obtiene la ecuación diferencial característica del movimiento, cuya solución es una función sinusoidal:

$m{\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}}=-kx\Rightarrow {\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}}=-{\displaystyle \frac{k}{m}}x$

Son ejemplos de movimiento armónico simple la masa unida a un muelle que oscila sobre una superficie sin rozamiento, el péndulo simple para oscilaciones pequeñas, la vibración de los átomos en torno a sus posiciones de la red cristalina, el movimiento de cada punto del medio al paso de una onda armónica, y la proyección sobre un diámetro de un movimiento circular uniforme.

$\mathbf{\text{Ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{Definici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{magnitudes.}}$










La solución de la ecuación anterior es la ecuación del movimiento:

$x=A\mathrm{sen}(\omega t+{\varphi }_0)$

donde $x$ es la elongación, la separación de la partícula respecto de la posición de equilibrio en cada instante; $A$ es la amplitud, el valor máximo de la elongación; $\omega$ es la frecuencia angular o pulsación, en $\text{rad/s}$; y ${\varphi }_0$ es la fase inicial, que fija la posición y el sentido del movimiento en el instante inicial. Al conjunto $\omega t+{\varphi }_0$ se le llama fase.





De la frecuencia angular se derivan el periodo, tiempo que tarda en repetirse una oscilación completa, y la frecuencia, número de oscilaciones por segundo:

$T={\displaystyle \frac{2\pi }{\omega }};f={\displaystyle \frac{1}{T}}={\displaystyle \frac{\omega }{2\pi }}$

Sustituyendo la solución en la ecuación diferencial se identifica la frecuencia angular con las características del sistema, y se comprueba que ni el periodo ni la frecuencia dependen de la amplitud, que es el rasgo más característico de este movimiento:

$\omega =\sqrt{{\displaystyle \frac{k}{m}}};T=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{m}{k}}}$

$\mathbf{\text{Ecuaciones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

Se obtienen derivando la elongación respecto del tiempo una y dos veces:

$v={\displaystyle \frac{dx}{dt}}=A\omega \cos (\omega t+{\varphi }_0)$

$a={\displaystyle \frac{dv}{dt}}=-A{\omega }^2\mathrm{sen}(\omega t+{\varphi }_0)=-{\omega }^{2}x$

La última igualdad devuelve la ecuación de partida y confirma la solución. De estas expresiones se leen los valores máximos y las relaciones de fase:

$v_{max}=A\omega ;a_{max}=A{\omega }^2$

La velocidad va adelantada un cuarto de periodo respecto de la elongación: se anula en los extremos, donde la partícula invierte el sentido, y es máxima al pasar por la posición de equilibrio. La aceleración, en cambio, está en oposición de fase con la elongación: es máxima en los extremos, donde la fuerza recuperadora es mayor, y nula en el centro.

Eliminando el tiempo entre la elongación y la velocidad se obtiene además una relación muy útil:

$v=\pm \omega \sqrt{A^2-x^2}$

Por último, la energía mecánica se conserva y es proporcional al cuadrado de la amplitud, repartiéndose en cada instante entre las formas cinética y potencial:

$E_m={\displaystyle \frac{1}{2}}k{A}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}m{\omega }^2{A}^2$