Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2022

P2. Consideremos un bote en el mar a $14\text{ m}$ del origen de coordenadas en la dirección $x$ de propagación del oleaje. Debido al oleaje sigue una oscilación armónica vertical de $2\text{ m}$ de amplitud y $\mathrm{0,2}\text{ Hz}$ de frecuencia. La velocidad de propagación de las olas en la superficie es de $\mathrm{0,7}\text{ m/s}$.

a) Determinar el periodo y la longitud de onda de las olas. (1 punto)

b) Escribir la ecuación de la onda suponiendo que, en el instante inicial $t=0$, la altura del bote era mínima. (1 punto)

c) Determinar la velocidad vertical máxima y la aceleración máxima del bote. (1 punto)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determinar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{olas.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El periodo es el inverso de la frecuencia:

$T={\displaystyle \frac{1}{f}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,2}}}=5\text{ s}$

y la longitud de onda relaciona la velocidad de propagación con el periodo:

$\lambda =vT=\mathrm{0,7}\cdot 5=\mathrm{3,5}\text{ m}$



Una onda armónica que se propaga en el sentido positivo del eje $X$ tiene la forma:

$y(x,t)=A\cos (\omega t-kx+{\phi }_0)$

Calculamos la pulsación y el número de onda:

$\omega =2\pi f=\mathrm{0,4}\pi \text{ rad/s}k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}={\displaystyle \frac{4\pi }{7}}\text{ rad/m}$










Para la fase inicial observamos un hecho clave: el bote dista del origen un número entero de longitudes de onda,

${\displaystyle \frac{x}{\lambda }}={\displaystyle \frac{14}{\mathrm{3,5}}}=4$

luego $kx=8\pi$, múltiplo de $2\pi$, y el origen y el bote oscilan en fase. Basta entonces imponer que la elongación sea mínima en $t=0$.





Eso se consigue con ${\phi }_0=0$ y un coseno cambiado de signo, y se comprueba de inmediato: $y(14,0)=-2\cos (-8\pi )=-2\text{ m}$, que es efectivamente la altura mínima. La ecuación de la onda, en unidades del Sistema Internacional, es:

$y(x,t)=-2\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}(\mathrm{0,4}\pi t-{\displaystyle \frac{4\pi }{7}}x)$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Determinar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{vertical}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{bote.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El bote describe un movimiento armónico simple en el eje vertical. Derivando la elongación respecto del tiempo se obtiene la velocidad, cuyo valor máximo es:

$v_{\max }=A\omega =2\cdot \mathrm{0,4}\pi =\mathrm{2,51}\text{ m/s}$

y derivando de nuevo, la aceleración máxima:

$a_{\max }=A{\omega }^2=2\cdot (\mathrm{0,4}\pi {)}^2=\mathrm{3,16}{\text{m/s}}^2$

El bote sube y baja con una rapidez máxima de $\mathrm{2,51}\text{ m/s}$, alcanzada al pasar por el nivel medio del mar, y con una aceleración máxima de $\mathrm{3,16}{\text{m/s}}^2$, alcanzada en la cresta y en el valle de la ola.