Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2025

Bloque 3: Vibraciones y Ondas. Opción 3-A.

a) (1,25p) La oscilación de un puente colgante puede modelizarse de forma efectiva como la de un muelle de constante elástica (o recuperadora) del valor $k={10}^8\text{ N/m}$. Calcular cuánta energía es necesaria para hacer que el puente oscile con una amplitud de $10\text{ cm}$.

b) (1,25p) (i) Explicar la diferencia existente entre la velocidad de propagación de una onda y la velocidad de oscilación de un punto de dicha onda. (ii) Determinar la velocidad de propagación y la velocidad máxima de oscilación de una onda en una cuerda dada por la función de onda $y(x,t)=2sen(3x-6t)$ (todo dado en unidades del Sistema Internacional).

En un oscilador armónico la energía mecánica se conserva. En los extremos de la oscilación la velocidad es nula y toda la energía es elástica, de modo que la energía que hay que comunicar al puente es precisamente esa energía mecánica total:

$E={\displaystyle \frac{1}{2}}k{A}^2$

Sustituimos con la amplitud en el Sistema Internacional, $A=\mathrm{0,10}\text{ m}$:

$E={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {10}^8\cdot (\mathrm{0,10}{)}^2=5\cdot {10}^5\text{ J}$

Hacen falta $5\cdot {10}^5\text{ J}$, es decir, $500\text{ kJ}$, para que el puente oscile con esa amplitud: una energía muy grande, coherente con la enorme rigidez de la estructura.












i) La velocidad de propagación $v$ es la rapidez con que avanza la perturbación a través del medio. Es constante, depende solo del medio y va en la dirección de propagación.

La velocidad de oscilación $v_{\text{osc}}$ es la de cada partícula del medio en torno a su posición de equilibrio: en una onda transversal es perpendicular a la propagación y varía con el tiempo. El medio no se traslada; solo vibra.





ii) Comparamos la función dada con la expresión general $y(x,t)=A\text{sen}(kx-\omega t)$:

$A=2\text{ m}k=3\text{ rad/m}\omega =6\text{ rad/s}$

La velocidad de propagación es el cociente entre la pulsación y el número de onda:

$v={\displaystyle \frac{\omega }{k}}={\displaystyle \frac{6}{3}}=2\text{ m/s}$

La velocidad de oscilación se obtiene derivando la elongación respecto del tiempo:

$v_{\text{osc}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}}=-A\omega \cos (kx-\omega t)=-12\cos (3x-6t)\text{ m/s}$

Su valor máximo se alcanza cuando el coseno vale $\pm 1$:

$v_{\text{osc,m}\acute{\text{a}}\text{x}}=A\omega =2\cdot 6=12\text{ m/s}$

La perturbación avanza por la cuerda a $2\text{ m/s}$, mientras que cada punto vibra perpendicularmente con una rapidez que oscila entre cero y $12\text{ m/s}$.