Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2025

PROBLEMA 5 - PROBLEMA - OPCIÓN A

La posición de un cuerpo, de masa $m=1,5\text{ g}$, que oscila respecto a su posición de equilibrio, está descrita por la función $x(t)=0,10\cos (10\pi t+\frac{\pi }{2})$ en unidades del Sistema Internacional.

a) ¿Qué tipo de movimiento realiza el cuerpo? Calcula el período de oscilación, así como la posición y la velocidad del cuerpo para $t=1\text{ s}$. (1 punto)
b) Calcula la energía mecánica total del cuerpo, su energía cinética y su energía potencial en el instante en que la posición del cuerpo se corresponde con la mitad de la amplitud del movimiento. (1 punto).

El cuerpo realiza un movimiento armónico simple de ecuación:

$x(t)=\mathrm{0,1}\cos (10\pi t+\frac{\pi }{2})$ (x en metros, t en s)

La ecuación de la elongación: $x(t)=A\cos (\omega t+{\phi }_0)$

Identificando términos:

$A=\mathrm{0,1}\text{ m}$

$\omega =10\pi \text{ rad/s}\Rightarrow \omega =2\pi f\Rightarrow 10\pi =2\pi f\Rightarrow f=5\text{ Hz}$

La velocidad:

$v(t)=\frac{dx}{dt}=-\mathrm{0,1}\cdot 10\pi \sin (10\pi t+\frac{\pi }{2})=-\pi \sin (10\pi t+\frac{\pi }{2})\text{ m/s}$

Y cuando $t=1\text{ s}$:

$x(1)=\mathrm{0,1}\cos (10\pi +\frac{\pi }{2})=0\text{ m}$

$v(1)=-\pi \sin (10\pi +\frac{\pi }{2})=-\pi \text{ m/s}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{mec}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nica}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{cuerpo,}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cin}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{instante}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{cuerpo}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{corresponde}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{mitad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{amplitud}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{movimiento.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto).}}$

La energía mecánica del cuerpo es constante y vale:

$E_M=\frac{1}{2}k{A}^2=\frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{1,5}\cdot {10}^{-3}\cdot (10\pi {)}^2\cdot {\mathrm{0,1}}^2=\mathrm{7,4}\cdot {10}^{-3}\text{ J}$

La energía potencial es función de la elongación según:

$E_p=\frac{1}{2}k{x}^2=\frac{1}{2}m{\omega }^2{\left(\frac{A}{2}\right)}^2=\frac{\mathrm{7,4}\cdot {10}^{-3}}{4}=\mathrm{1,85}\cdot {10}^{-3}\text{ J}$

Por tanto, la energía cinética pedida:

$E_M=E_p+E_c\Rightarrow E_c=E_M-E_p=\mathrm{7,4}\cdot {10}^{-3}-\mathrm{1,85}\cdot {10}^{-3}=\mathrm{5,55}\cdot {10}^{-3}\text{ J}$