Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2025

De una báscula de muelle vertical de una lonja se cuelga un atún de 40 kg. Cuando el sistema está en equilibrio se observa que el muelle está estirado 4 cm respecto a su longitud natural (longitud sin estirar),

a) (1 punto) ¿Cuál es la constante elástica y el periodo de oscilación del muelle?

Manteniendo el atún colgado, estiramos hacia debajo de modo que el muelle se alarga otros 2 cm y lo dejamos en libertad.

b) (0.5 puntos) ¿Cuál será la velocidad del atún cuando pase por la situación de equilibrio?

Dato: $g_0=\mathrm{9,8}\text{ m}{\text{s}}^{-2}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{stica}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{oscilaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{muelle?}}$










Con el atún colgado y el sistema en equilibrio, la fuerza recuperadora del muelle iguala al peso:

$k\mathrm{\Delta }x=m{g}_0$

de donde sale la constante elástica del muelle.





Se pasa el alargamiento a unidades del Sistema Internacional:

$\mathrm{\Delta }x=4\text{ cm}=\mathrm{0,04}\text{ m}$

$k={\displaystyle \frac{m{g}_0}{\mathrm{\Delta }x}}={\displaystyle \frac{40\cdot \mathrm{9,8}}{\mathrm{0,04}}}=\mathrm{9,8}\cdot {10}^3\text{ N/m}$

Al separar el sistema del equilibrio, la fuerza neta vuelve a ser proporcional a la separación y de sentido contrario, así que el movimiento es armónico simple de frecuencia angular:

$\omega =\sqrt{{\displaystyle \frac{k}{m}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{9,8}\cdot {10}^3}{40}}}=\mathrm{15,7}\text{ rad/s}$

$T={\displaystyle \frac{2\pi }{\omega }}={\displaystyle \frac{2\pi }{\mathrm{15,7}}}=\mathrm{0,401}\text{ s}$

La constante elástica vale $\mathrm{9,8}\cdot {10}^3\text{ N/m}$ y el periodo de oscilación, $\mathrm{0,401}\text{ s}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{(0.5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{at}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{pase}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{situaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{equilibrio?}}$

Se suelta el atún desde 2 cm por debajo del equilibrio y en reposo, de modo que ese es un extremo del movimiento y la amplitud vale:

$A=2\text{ cm}=\mathrm{0,02}\text{ m}$

En un movimiento armónico simple la velocidad es máxima justo al pasar por la posición de equilibrio:

$v_{\max }=A\omega$

$v_{\max }=\mathrm{0,02}\cdot \mathrm{15,7}=\mathrm{0,313}\text{ m/s}$

El atún pasa por la posición de equilibrio a $\mathrm{0,313}\text{ m/s}$. Conviene notar que el peso no aparece en este cálculo: colgar la masa solo desplaza el punto de equilibrio, y alrededor de él la oscilación es la misma que la de un muelle horizontal.