Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2026

Un muelle de constante elástica $k=100\text{ N/m}$, masa despreciable y de 10 cm de longitud natural tiene uno de sus extremos fijos en una pared vertical, mientras que el otro extremo del muelle está unido a un bloque de masa $m=1\text{ kg}$ que descansa sobre una superficie horizontal sin rozamiento. El muelle está en posición horizontal. Sobre el bloque se aplica una fuerza horizontal $\vec{F}$ que mantiene estirado el muelle hasta una longitud total de 16 cm. Desde esta posición, se suelta el bloque de forma que comienza a oscilar describiendo un movimiento vibratorio armónico simple (m.v.a.s.). Calcule:

a) El módulo de la fuerza $\vec{F}$ aplicada antes de ser liberado el sistema.

b) La frecuencia angular $\omega$ del m.v.a.s. que describe el bloque.

c) La ecuación del m.v.a.s. que describe la posición $x(t)$ del bloque en función del tiempo $t$.

d) La energía mecánica total del bloque mientras realiza ese m.v.a.s.

La posición de equilibrio del bloque es la que corresponde al muelle con su longitud natural, porque la superficie es horizontal y sin rozamiento. La deformación del muelle es, por tanto:

$A=16\text{ cm}-10\text{ cm}=6\text{ cm}=\mathrm{0,06}\text{ m}$

y esa deformación es justamente la amplitud del movimiento.





Mientras el bloque está quieto, la fuerza aplicada equilibra a la fuerza recuperadora del muelle, que por la ley de Hooke vale $F_r=-kx$. En módulo:

$F=kA=100\cdot \mathrm{0,06}=6\text{ N}$

Hay que aplicar una fuerza de $6\text{ N}$ para mantener el muelle estirado.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{angular}}\mathit{\omega }\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{m.v.a.s.}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{describe}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{bloque.}}$

Al soltar el bloque, la única fuerza horizontal es la del muelle. Aplicando la segunda ley de Newton se obtiene la ecuación del movimiento armónico simple:

$-kx=ma\Rightarrow a=-{\displaystyle \frac{k}{m}}x$

Comparándola con $a=-{\omega }^{2}x$ se identifica la frecuencia angular:

$\omega =\sqrt{{\displaystyle \frac{k}{m}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{100}{1}}}=10\text{ rad/s}$

La frecuencia angular es $10\text{ rad/s}$, a la que corresponden un periodo $T={\displaystyle \frac{2\pi }{\omega }}=\mathrm{0,628}\text{ s}$ y una frecuencia $f=\mathrm{1,59}\text{ Hz}$.



La elongación de un movimiento armónico simple es:

$x(t)=A\cos (\omega t+{\phi }_0)$

Se toma el origen de posiciones en el punto de equilibrio y el sentido positivo el del estiramiento. En el instante inicial el bloque se suelta desde la elongación máxima y en reposo:

$x(0)=A\Rightarrow A\cos {\phi }_0=A\Rightarrow \cos {\phi }_0=1\Rightarrow {\phi }_0=0$

Se comprueba que también se cumple la condición sobre la velocidad:

$v(0)=-A\omega \sin {\phi }_0=0$

Por tanto:

$x(t)=\mathrm{0,06}\cos (10t)\text{ (}x\text{ en metros y }t\text{ en segundos)}$

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{mec}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nica}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{bloque}}\mathbf{\text{mientras}}\mathbf{\text{realiza}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{m.v.a.s.}}$

Al no haber rozamiento, la energía mecánica se conserva y es la que tenía el sistema en el instante de soltarlo: toda ella es energía potencial elástica, porque el bloque partía del reposo.

$E_m={\displaystyle \frac{1}{2}}k{A}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 100\cdot {\mathrm{0,06}}^2$

$E_m=\mathrm{0,18}\text{ J}$

La energía mecánica total del bloque es de $\mathrm{0,18}\text{ J}$. Al pasar por la posición de equilibrio toda ella es cinética, y de ahí sale la velocidad máxima $v_{\max }=A\omega =\mathrm{0,6}\text{ m/s}$.