Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2025

Dos amigas han quedado para hacer puenting y, tras lanzarse, oscilan verticalmente. Suponga que para ello utilizan una cuerda de masa despreciable, que se comporta de forma similar a un muelle. Asimismo, desprecie el rozamiento.

a) La primera de ellas, de 50 kg de masa, realiza 4 oscilaciones en 20 s. Si la amplitud de la oscilación es 2,8 m, determine la variación de las energías mecánica, cinética y potencial con la posición vertical y represéntelas. (1,25 puntos)
b) Si su amiga, en cambio, tarda 3 s en realizar media oscilación, ¿cuál es su masa? (0,75 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{primera}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ellas,}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{50}}\mathbf{\text{kg}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{masa,}}\mathbf{\text{realiza}}\mathbf{\text{4}}\mathbf{\text{oscilaciones}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{s.}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{amplitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{oscilaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{2,8}}\mathbf{\text{m,}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{variaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as}}\mathbf{\text{mec}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nica,}}\mathbf{\text{cin}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{vertical}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{repres}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ntelas.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La cuerda se comporta como un muelle, así que el movimiento es armónico simple. Del número de oscilaciones se obtiene el periodo:

$T={\displaystyle \frac{20}{4}}=5\text{ s}\Rightarrow \omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}=\mathrm{1,26}\text{ rad/s}$

La constante elástica sale de la relación entre la frecuencia angular y la masa:

$\omega =\sqrt{{\displaystyle \frac{k}{m}}}\Rightarrow k=m{\omega }^2=50\cdot {\mathrm{1,26}}^2=\mathrm{79,0}\text{ N/m}$

La energía mecánica es constante en toda la oscilación y vale:

$E_M={\displaystyle \frac{1}{2}}k{A}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{79,0}\cdot {\mathrm{2,8}}^2=310\text{ J}$

La energía potencial depende de la posición medida desde el punto de equilibrio:

$E_p={\displaystyle \frac{1}{2}}k{x}^2=\mathrm{39,5}{x}^2\text{ J}$

Y la cinética es lo que le falta para completar la mecánica:

$E_c=E_M-E_p=310-\mathrm{39,5}{x}^2\text{ J}$



En la representación, la energía mecánica es la recta horizontal de 310 J; la potencial, una parábola que se anula en el punto de equilibrio y alcanza los 310 J en los extremos, y la cinética, la parábola invertida, máxima en el centro y nula en $x=\pm A$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{amiga,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cambio,}}\mathbf{\text{tarda}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{realizar}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{oscilaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{masa?}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Media oscilación en 3 s significa un periodo de 6 s. La cuerda es la misma, de modo que la constante elástica no cambia:

$T^{\mathrm{\prime }}=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{m^{\mathrm{\prime }}}{k}}}\Rightarrow m^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{k{T}^{\mathrm{\prime }2}}{4{\pi }^2}}$

$m^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{\mathrm{79,0}\cdot 6^2}{4{\pi }^2}}=\mathrm{72,0}\text{ kg}$

La segunda amiga tiene una masa de 72 kg. Se puede comprobar de forma más rápida: como el periodo es proporcional a la raíz de la masa, al pasar de 5 s a 6 s la masa se multiplica por $(6\mathrm{/}5{)}^2=\mathrm{1,44}$, y $50\cdot \mathrm{1,44}=72\text{ kg}$.