Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2025

Se dispone de un péndulo simple de 87 cm de longitud que oscila respecto a su posición de equilibrio con un ángulo muy pequeño. Obtenga la frecuencia angular de oscilación y el periodo. [0,5 puntos]

Escriba la ecuación de la posición en función del tiempo si la amplitud inicial es de $A=2$ cm y $x(t=0\mathrm{s})=A$. [0,25 puntos]

¿Cuál es la velocidad del péndulo al pasar por la vertical? [0,25 puntos]

Datos: Aceleración de la gravedad: 9,8 m/s${}^2$.

$\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{angular}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{oscilaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$










Para ángulos pequeños, la componente tangencial del peso es proporcional a la separación de la vertical y el péndulo simple describe un movimiento armónico simple de frecuencia angular

$\omega =\sqrt{{\displaystyle \frac{g}{L}}}$

$\omega =\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{9,8}}{\mathrm{0,87}}}}=\mathrm{3,36}\text{ rad/s}$





El periodo se obtiene de la frecuencia angular:

$T={\displaystyle \frac{2\pi }{\omega }}={\displaystyle \frac{2\pi }{\mathrm{3,36}}}=\mathrm{1,87}\text{ s}$

La frecuencia angular es de $\mathrm{3,36}\text{ rad/s}$ y el periodo, de $\mathrm{1,87}\text{ s}$. Ninguno de los dos depende de la masa que cuelga ni de la amplitud, siempre que el ángulo se mantenga pequeño.



La elongación de un movimiento armónico simple es una función sinusoidal del tiempo. Como en el instante inicial el péndulo está en un extremo, conviene escribirla como coseno con fase inicial nula, porque así $x(0)=A$:

$x(t)=A\cos (\omega t)=2\cos \left(\mathrm{3,36}t\right)\text{ cm}$

$\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{p}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ndulo}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{pasar}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{vertical?}}\mathbf{\text{[0,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Al pasar por la vertical el péndulo está en la posición de equilibrio, donde la elongación es nula y la velocidad, máxima:

$v_{\max }=A\omega =\mathrm{0,02}\cdot \mathrm{3,36}=\mathrm{6,71}\cdot {10}^{-2}\text{ m/s}$

La velocidad al pasar por la vertical es de $\mathrm{6,71}\text{ cm/s}$. En ese punto toda la energía mecánica del péndulo es cinética.