Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2023

Se tiene una masa de 2 kg oscilando verticalmente en un muelle de constante elástica 50 N/m.

a) Obtenga el periodo de la oscilación. [0,75 puntos]

b) Si la velocidad máxima es de 37 cm/s, ¿cuál es la amplitud máxima de la oscilación? [1 punto]

c) Si el muelle se estira hasta el punto más bajo y se suelta, dibuje un gráfico de la posición en función del tiempo. [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{oscilaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Una masa colgada de un muelle ideal describe un movimiento armónico simple cuya frecuencia angular depende solo de la constante elástica y de la masa:

$\omega =\sqrt{{\displaystyle \frac{k}{m}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{50}{2}}}=5\text{ rad/s}$

Y el periodo se obtiene de ella:

$T={\displaystyle \frac{2\pi }{\omega }}={\displaystyle \frac{2\pi }{5}}=\mathrm{1,26}\text{ s}$

El periodo de la oscilación es de $\mathrm{1,26}\text{ s}$. Conviene notar que no depende de la amplitud con que se haga oscilar la masa: es lo característico del movimiento armónico simple.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{37}}\mathbf{\text{cm/s,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{amplitud}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{oscilaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La velocidad de un movimiento armónico simple es máxima al pasar por la posición de equilibrio, y su valor es el producto de la amplitud por la frecuencia angular:

$v_{\max }=A\omega \Rightarrow A={\displaystyle \frac{v_{\max }}{\omega }}$

Se sustituye con la velocidad en unidades del Sistema Internacional:

$A={\displaystyle \frac{\mathrm{0,37}}{5}}=\mathrm{0,074}\text{ m}$

La amplitud de la oscilación es de $\mathrm{0,074}\text{ m}$, es decir, 7,4 cm.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{muelle}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{estira}}\mathbf{\text{hasta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{bajo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{suelta,}}\mathbf{\text{dibuje}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fico}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tiempo.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$



Soltar la masa desde el punto más bajo significa que en el instante inicial la elongación vale $-A$ y la velocidad es nula. La función que cumple esas dos condiciones es un coseno con el signo cambiado:

$x(t)=-A\cos (\omega t)=-\mathrm{0,074}\cos (5t)\text{ m}$

En la gráfica se leen las tres magnitudes que caracterizan el movimiento: la amplitud $A=\mathrm{7,4}\text{ cm}$, que es la elongación máxima a uno y otro lado del equilibrio; el periodo $T=\mathrm{1,26}\text{ s}$, medido entre dos máximos consecutivos; y la posición inicial en $-A$, que es lo que fija la forma de la curva.