Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2024

En lo más alto del monte Everest realizamos un experimento para medir el valor de la gravedad terrestre, que a esta altura es de $\mathrm{9,77}{\text{m/s}}^2$. Si medimos el periodo de oscilación varias veces obtenemos los siguientes resultados:

Medida	1	2	3	4	5	6 $T\text{ (s)}$	0,89	0,88	0,90	0,88	0,91	0,92

¿Qué longitud tiene el péndulo que estamos usando? ¿Si duplicamos su longitud, el periodo de oscilación también se duplica? Justifique la respuesta.

El periodo de un péndulo simple de longitud $L$ que oscila con pequeña amplitud es:

$T=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{L}{g}}}$

Se toma como valor del periodo la media aritmética de las seis medidas, que es lo que reduce el efecto de los errores accidentales de cada cronometraje:

$\bar{T}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,89}+\mathrm{0,88}+\mathrm{0,90}+\mathrm{0,88}+\mathrm{0,91}+\mathrm{0,92}}{6}}=\mathrm{0,897}\text{ s}$

Se despeja la longitud de la expresión del periodo:

$T^2=4{\pi }^2{\displaystyle \frac{L}{g}}\Rightarrow L={\displaystyle \frac{g{T}^2}{4{\pi }^2}}$

Y se sustituye con el valor de la gravedad en la cima del Everest:

$L={\displaystyle \frac{\mathrm{9,77}\cdot {\mathrm{0,897}}^2}{4{\pi }^2}}=\mathrm{0,199}\text{ m}$

El péndulo mide unos $\mathrm{19,9}\text{ cm}$, es decir, prácticamente $20\text{ cm}$.

Al duplicar la longitud el periodo no se duplica. La dependencia no es lineal sino con la raíz cuadrada de la longitud:

$T^{\mathrm{\prime }}=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{2L}{g}}}=\sqrt{2}\cdot 2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{L}{g}}}=\sqrt{2}T$

$T^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{1,41}\cdot \mathrm{0,897}=\mathrm{1,27}\text{ s}$

El periodo solo se multiplica por $\sqrt{2}\approx \mathrm{1,41}$. Para que llegara a duplicarse habría que cuadruplicar la longitud del péndulo.