Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Cataluña · 2021

Tres cargas negativas iguales, $-q$, se encuentran situadas en los vértices de un triángulo equilátero de lado $d$.



a) ¿Hay algún punto en el interior del triángulo donde el campo eléctrico sea nulo? Justifique la respuesta. Determine el módulo, la dirección y el sentido del campo eléctrico en el vértice superior del triángulo creado por las dos cargas situadas en la base. Exprese el resultado en función de $q$, $d$ y la constante de Coulomb. [1,25 puntos]

b) Determine la energía de formación de este sistema de cargas. Exprese el resultado en función de $q$, $d$ y la constante de Coulomb. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Hay}}\mathbf{\text{alg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{interior}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tri}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{nulo?}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{dulo,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{direcci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sentido}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtice}}\mathbf{\text{superior}}\mathbf{\text{creado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{cargas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{base.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$










Sí lo hay: el centro del triángulo, punto $O$ de la figura. Ese punto equidista de las tres cargas, que además son iguales, así que los tres campos tienen el mismo módulo y sus direcciones forman entre sí ángulos de ${120}^{\circ }$. Por el principio de superposición, la suma de tres vectores iguales en módulo y repartidos simétricamente es nula:

${\vec{E}}_O={\vec{E}}_1+{\vec{E}}_2+{\vec{E}}_3=\vec{0}$





Para el vértice superior, las dos cargas de la base están a la misma distancia $d$, así que los campos que crean tienen el mismo módulo:

$E_B=E_C=k\frac{q}{d^2}$

Como las cargas son negativas, cada campo apunta desde el vértice superior hacia la carga correspondiente. Tomando el vértice superior en $(0,\frac{\sqrt{3}}{2}d)$ y las cargas de la base en $(\pm \frac{d}{2},0)$, los vectores unitarios resultan:

${\vec{u}}_B=(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}){\vec{u}}_C=(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$

Sumando, las componentes horizontales se cancelan y las verticales se suman:

${\vec{E}}_A=k\frac{q}{d^2}({\vec{u}}_B+{\vec{u}}_C)=k\frac{q}{d^2}(0,-\sqrt{3})$

$E_A=\sqrt{3}k\frac{q}{d^2}$

El campo eléctrico en el vértice superior tiene módulo $\sqrt{3}k{\displaystyle \frac{q}{d^2}}$, dirección la de la altura del triángulo y sentido hacia el punto medio de la base, es decir, hacia el interior del triángulo.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{formaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cargas.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La energía de formación es el trabajo que hay que realizar para traer las tres cargas desde el infinito hasta sus posiciones, y coincide con la energía potencial electrostática del sistema. Se obtiene sumando la energía de cada pareja de cargas, sin repetir ninguna:

$U=U_{12}+U_{13}+U_{23}$

Las tres parejas son idénticas: dos cargas $-q$ separadas una distancia $d$. Como el producto de dos cargas negativas es positivo:

$U_{ij}=k\frac{(-q)(-q)}{d}=k\frac{q^2}{d}$

$U=3k\frac{q^2}{d}$

La energía de formación es positiva, lo que significa que hay que aportar trabajo desde el exterior para acercar las tres cargas: al tener todas el mismo signo, se repelen entre sí y el sistema no es estable.