Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Cataluña · 2020

Dos cargas eléctricas puntuales de $-\mathrm{5,0}\mu \text{C}$ y $\mathrm{7,0}\mu \text{C}$ están separadas $10\text{ cm}$ una de la otra.

a) Calcule el campo eléctrico (módulo, dirección y sentido) en un punto a $\mathrm{3,0}\text{ cm}$ de la carga negativa y a $\mathrm{7,0}\text{ cm}$ de la carga positiva. Este punto pertenece a la línea que une las dos cargas. [1,25 puntos]

b) Calcule en qué punto de la línea que une las cargas el potencial eléctrico es nulo. [1,25 puntos]

Dato: $k={\displaystyle \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}}=\mathrm{8,99}\cdot {10}^9{\text{N m}}^2{\text{ C}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{a}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">3,0</mn><mtext> cm</mtext></mrow>}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{carga}}\mathbf{\text{negativa}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{a}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">7,0</mn><mtext> cm</mtext></mrow>}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{positiva.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Como las dos distancias suman los $10\text{cm}$ que separan las cargas, el punto $P$ está entre ellas, sobre el segmento que las une.










El campo creado por una carga puntual tiene módulo:

$E=k\frac{\mathrm{\mid }Q\mathrm{\mid }}{r^2}$

y está dirigido alejándose de la carga si es positiva y acercándose a ella si es negativa.

Aquí las dos contribuciones apuntan en el mismo sentido, de la carga positiva hacia la negativa, así que se suman.





Para la carga negativa, a $\mathrm{3,0}\text{cm}$:

$E_1=\frac{\mathrm{8,99}\cdot {10}^9\cdot \mathrm{5,0}\cdot {10}^{-6}}{{(\mathrm{3,0}\cdot {10}^{-2})}^2}=\mathrm{4,99}\cdot {10}^7\text{N/C}$

Para la carga positiva, a $\mathrm{7,0}\text{cm}$:

$E_2=\frac{\mathrm{8,99}\cdot {10}^9\cdot \mathrm{7,0}\cdot {10}^{-6}}{{(\mathrm{7,0}\cdot {10}^{-2})}^2}=\mathrm{1,28}\cdot {10}^7\text{N/C}$

Por el principio de superposición:

$E_P=E_1+E_2=\mathrm{4,99}\cdot {10}^7+\mathrm{1,28}\cdot {10}^7$

$E_P=\mathrm{6,28}\cdot {10}^7\text{N/C}$

El campo tiene la dirección de la recta que une las dos cargas y el sentido que va de la carga positiva hacia la negativa.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nea}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{une}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{cargas}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{nulo.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El potencial es una magnitud escalar, de modo que se suman directamente las contribuciones de las dos cargas con su signo:

$V=k\frac{q_1}{r_1}+k\frac{q_2}{r_2}=0$

$\frac{-\mathrm{5,0}}{r_1}+\frac{\mathrm{7,0}}{r_2}=0\Rightarrow \mathrm{7,0}{r}_1=\mathrm{5,0}{r}_2$

Hay que estudiar las dos regiones en las que esto puede cumplirse.

i) Entre las dos cargas. Si $x$ es la distancia a la carga negativa, la distancia a la positiva es $10-x$:

$\mathrm{7,0}x=\mathrm{5,0}(10-x)\Rightarrow 12x=50$

$x=\mathrm{4,17}\text{cm}$

ii) Fuera del segmento, al otro lado de la carga negativa, que es la de menor valor absoluto:

$\mathrm{7,0}x=\mathrm{5,0}(x+10)\Rightarrow 2x=50$

$x=\mathrm{25,0}\text{cm}$

Se descarta la región situada más allá de la carga positiva, porque allí siempre está más cerca la carga mayor y el potencial no puede anularse.

El potencial es nulo, por tanto, en dos puntos de la recta: a $\mathrm{4,17}\text{cm}$ de la carga negativa entre ambas, y a $\mathrm{25,0}\text{cm}$ de la carga negativa por el lado opuesto a la positiva.