Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2024

a) Dibuje el rectángulo y los vectores que representan cualitativamente los campos eléctricos en el punto P a causa de cada carga por separado, y la suma gráfica de los vectores. Indique el número de la flecha que representa el campo total. [0,6 puntos]

b) Calcule el vector campo en el punto A y el módulo de la fuerza sobre un electrón en este punto. [0,8 puntos]

c) Calcule el potencial eléctrico en el punto B. [0,6 puntos]

Datos: $K=9\cdot {10}^9{\text{N m}}^2{\text{ C}}^{-2}$; $\mathrm{\mid }e\mathrm{\mid }=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Dibuje}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rect}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{vectores}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{representan}}\mathbf{\text{cualitativamente}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{campos}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctricos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{P}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{causa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{carga}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{separado,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{suma}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{vectores.}}\mathbf{\text{Indique}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{flecha}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{representa}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{total.}}\mathbf{\text{[0,6}}\mathbf{\text{puntos]}}$










El punto P es el centro del rectángulo, así que está a la misma distancia de las dos cargas, la mitad de la diagonal:

$r={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{{16}^2+{12}^2}={\displaystyle \frac{20}{2}}=10\text{ cm}$

El campo de la carga negativa apunta hacia ella, es decir, de P hacia el vértice inferior izquierdo; el de la carga positiva se aleja de ella, es decir, del vértice inferior derecho hacia P y más allá.





Como la carga negativa es tres veces mayor en valor absoluto y las dos distancias son iguales, su campo es tres veces más largo:

$E_1=K{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{q}_1\mathrm{\mid }}{r^2}}=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{18\cdot {10}^{-9}}{{\mathrm{0,10}}^2}}=\mathrm{1,62}\cdot {10}^4\text{ N/C}$

$E_2=K{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{q}_2\mathrm{\mid }}{r^2}}=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{6\cdot {10}^{-9}}{{\mathrm{0,10}}^2}}=\mathrm{5,4}\cdot {10}^3\text{ N/C}$

Los dos vectores forman entre sí el ángulo de las diagonales. Sumándolos por la regla del paralelogramo, la resultante apunta hacia la izquierda y ligeramente hacia abajo. En componentes, con el eje $X$ horizontal hacia la derecha:

${\vec{E}}_P=-\mathrm{1,728}\cdot {10}^4\vec{\mathrm{ı}}-\mathrm{6,48}\cdot {10}^3\vec{\mathrm{ȷ}}\text{ N/C}$

$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{\mathrm{6,48}}{\mathrm{17,28}}}\Rightarrow \alpha ={\mathrm{20,6}}^{\circ }\text{ por debajo del sentido negativo del eje }X$

Esa dirección, medida desde el semieje $X$ positivo, corresponde a ${201}^{\circ }$: la flecha número 4 del abanico.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{vector}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{dulo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{punto.}}\mathbf{\text{[0,8}}\mathbf{\text{puntos]}}$










El punto A es el vértice superior izquierdo. Sus distancias a las cargas son:

$r_1=12\text{ cm}=\mathrm{0,12}\text{ m}$

$r_2=\sqrt{{16}^2+{12}^2}=20\text{ cm}=\mathrm{0,20}\text{ m}$

El campo de la carga negativa apunta de A hacia ella, es decir, verticalmente hacia abajo. El de la positiva se aleja de ella, a lo largo de la diagonal, hacia arriba y hacia la izquierda.





Los módulos son:

$E_1=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{18\cdot {10}^{-9}}{{\mathrm{0,12}}^2}}=\mathrm{1,125}\cdot {10}^4\text{ N/C}$

$E_2=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{6\cdot {10}^{-9}}{{\mathrm{0,20}}^2}}=\mathrm{1,35}\cdot {10}^3\text{ N/C}$

El vector unitario de la diagonal, de la carga positiva hacia A, es:

${\vec{u}}_2={\displaystyle \frac{(0,12)-(16,0)}{20}}=(-\mathrm{0,8};\mathrm{0,6})$

Por tanto:

${\vec{E}}_1=-\mathrm{1,125}\cdot {10}^4\vec{\mathrm{ȷ}}\text{ N/C}$

${\vec{E}}_2=\mathrm{1,35}\cdot {10}^3(-\mathrm{0,8}\vec{\mathrm{ı}}+\mathrm{0,6}\vec{\mathrm{ȷ}})=-\mathrm{1,08}\cdot {10}^3\vec{\mathrm{ı}}+\mathrm{8,1}\cdot {10}^2\vec{\mathrm{ȷ}}\text{ N/C}$

Y aplicando el principio de superposición:

${\vec{E}}_A=-\mathrm{1,08}\cdot {10}^3\vec{\mathrm{ı}}-\mathrm{1,044}\cdot {10}^4\vec{\mathrm{ȷ}}\text{ N/C}$

$E_A=\sqrt{(\mathrm{1,08}\cdot {10}^3{)}^2+(\mathrm{1,044}\cdot {10}^4{)}^2}=\mathrm{1,05}\cdot {10}^4\text{ N/C}$

La fuerza sobre un electrón situado en A tiene por módulo:

$F=\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }{E}_A=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\cdot \mathrm{1,05}\cdot {10}^4=\mathrm{1,68}\cdot {10}^{-15}\text{ N}$

y, por ser la carga del electrón negativa, va en sentido contrario al campo.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{B.}}\mathbf{\text{[0,6}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El punto B es el vértice superior derecho. Sus distancias a las cargas son:

$r_1=\sqrt{{16}^2+{12}^2}=20\text{ cm}=\mathrm{0,20}\text{ m},r_2=12\text{ cm}=\mathrm{0,12}\text{ m}$

El potencial es escalar y se suma directamente, con el signo de cada carga:

$V_B=K({\displaystyle \frac{q_1}{r_1}}+{\displaystyle \frac{q_2}{r_2}})=9\cdot {10}^9({\displaystyle \frac{-18\cdot {10}^{-9}}{\mathrm{0,20}}}+{\displaystyle \frac{6\cdot {10}^{-9}}{\mathrm{0,12}}})$

$V_B=9\cdot {10}^9(-9\cdot {10}^{-8}+5\cdot {10}^{-8})=9\cdot {10}^9\cdot (-4\cdot {10}^{-8})$

$V_B=-360\text{ V}$

El potencial en B es de $-360\text{ V}$: pesa más la carga negativa, que aunque está más lejos es tres veces mayor.