Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2022

Calcule el campo total en el punto P a causa de las tres cargas puntuales de la figura adjunta. Como resultado, presente:



a) El esquema de los vectores que representan los campos individuales y el total. [0,5 puntos]

b) El módulo del campo total. [0,75 puntos]

c) El ángulo en grados que forma el campo total con el lado inferior del rectángulo. [0,5 puntos]

d) El módulo de la fuerza eléctrica total sobre un protón en el punto P. [0,25 puntos]

Datos: $K=9\cdot {10}^9{\text{N m}}^2{\text{ C}}^{-2}$; carga del protón, $e=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{esquema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{vectores}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{representan}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{campos}}\mathbf{\text{individuales}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{total.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$










El punto P es el centro del lado inferior, a 4 cm de las dos cargas de ese lado y a

$r_3=\sqrt{4^2+6^2}=\mathrm{7,21}\text{ cm}$

de la carga superior.

El campo de la carga positiva se aleja de ella, hacia la derecha; el de la carga negativa de la derecha apunta hacia ella, también hacia la derecha. Los dos, por tanto, se suman.





El campo de la carga negativa superior apunta desde P hacia ella, es decir, hacia arriba y hacia la izquierda, a lo largo de la diagonal.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{dulo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{total.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se calculan los tres módulos:

$E_1=K{\displaystyle \frac{\mathrm{0,4}\cdot {10}^{-6}}{{\mathrm{0,04}}^2}}=\mathrm{2,25}\cdot {10}^6\text{ N/C}$

$E_2=K{\displaystyle \frac{\mathrm{0,4}\cdot {10}^{-6}}{{\mathrm{0,04}}^2}}=\mathrm{2,25}\cdot {10}^6\text{ N/C}$

$E_3=K{\displaystyle \frac{\mathrm{0,9}\cdot {10}^{-6}}{(\mathrm{0,0721}{)}^2}}=\mathrm{1,56}\cdot {10}^6\text{ N/C}$

Los dos primeros son horizontales y del mismo sentido. El tercero lleva la dirección de la diagonal, cuyo vector unitario de P hacia la carga superior es:

${\vec{u}}_3={\displaystyle \frac{(0,6)-(4,0)}{\mathrm{7,21}}}=(-\mathrm{0,5547};\mathrm{0,8321})$

${\vec{E}}_3=\mathrm{1,56}\cdot {10}^6(-\mathrm{0,5547}\vec{\mathrm{ı}}+\mathrm{0,8321}\vec{\mathrm{ȷ}})=-\mathrm{0,864}\cdot {10}^6\vec{\mathrm{ı}}+\mathrm{1,296}\cdot {10}^6\vec{\mathrm{ȷ}}$

Aplicando el principio de superposición:

${\vec{E}}_P=(\mathrm{2,25}+\mathrm{2,25}-\mathrm{0,864})\cdot {10}^6\vec{\mathrm{ı}}+\mathrm{1,296}\cdot {10}^6\vec{\mathrm{ȷ}}$

${\vec{E}}_P=\mathrm{3,64}\cdot {10}^6\vec{\mathrm{ı}}+\mathrm{1,30}\cdot {10}^6\vec{\mathrm{ȷ}}\text{ N/C}$

$E_P=\sqrt{(\mathrm{3,64}\cdot {10}^6{)}^2+(\mathrm{1,30}\cdot {10}^6{)}^2}=\mathrm{3,86}\cdot {10}^6\text{ N/C}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{El}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{grados}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{lado}}\mathbf{\text{inferior}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{rect}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El lado inferior es horizontal, de modo que el ángulo se obtiene directamente de las componentes:

$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{E_{P,y}}{E_{P,x}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,30}\cdot {10}^6}{\mathrm{3,64}\cdot {10}^6}}=\mathrm{0,356}$

$\alpha =\arctan (\mathrm{0,356})={\mathrm{19,6}}^{\circ }$

El campo total forma ${\mathrm{19,6}}^{\circ }$ con el lado inferior, por encima de él y hacia la derecha.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{dulo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrica}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{prot}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{P.}}\mathbf{\text{[0,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La fuerza sobre una carga puntual es $\vec{F}=q\vec{E}$, así que su módulo es:

$F=e{E}_P=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\cdot \mathrm{3,86}\cdot {10}^6$

$F=\mathrm{6,18}\cdot {10}^{-13}\text{ N}$

Como el protón tiene carga positiva, la fuerza lleva la misma dirección y sentido que el campo.