Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2022

Dos cargas puntuales de 12 nC cada una están en los vértices de un rectángulo como muestra la figura.



a) Represente las fuerzas sobre un electrón en el punto P a causa de cada carga y la fuerza total. [0,5 puntos]

b) Calcule la fuerza total sobre el electrón y su módulo. [0,75 puntos]

c) Calcule el módulo del trabajo para llevar una carga de 8 nC del punto P al punto M en el campo de las dos cargas de 12 nC. [0,75 puntos]

Datos: $K=9\cdot {10}^9{\text{N m}}^2{\text{ C}}^{-2}$; $\mathrm{\mid }e\mathrm{\mid }=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$; $V=K{\displaystyle \frac{q}{r}}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{fuerzas}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{P}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{causa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{carga}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{total.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$










Las dos cargas son positivas y el electrón es negativo, así que las dos fuerzas son atractivas: cada una apunta desde P hacia la carga correspondiente.

La de la carga inferior es horizontal, hacia la izquierda; la de la superior lleva la dirección de la diagonal del rectángulo, hacia arriba y hacia la izquierda.





La resultante se obtiene con la regla del paralelogramo y queda dirigida hacia el interior del rectángulo.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{dulo.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Las distancias de P a cada carga son:

$r_1=8\mu \text{m}=8\cdot {10}^{-6}\text{ m}$

$r_2=\sqrt{8^2+6^2}=10\mu \text{m}=1\cdot {10}^{-5}\text{ m}$

Los módulos de las dos fuerzas son:

$F_1=K{\displaystyle \frac{q\mathrm{\mid }e\mathrm{\mid }}{r_1^2}}=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{12\cdot {10}^{-9}\cdot \mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}}{(8\cdot {10}^{-6}{)}^2}}=\mathrm{2,70}\cdot {10}^{-7}\text{ N}$

$F_2=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{12\cdot {10}^{-9}\cdot \mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}}{({10}^{-5}{)}^2}}=\mathrm{1,73}\cdot {10}^{-7}\text{ N}$

Con el eje $X$ horizontal hacia la derecha, la primera es:

${\vec{F}}_1=-\mathrm{2,70}\cdot {10}^{-7}\vec{\mathrm{ı}}\text{ N}$

Y la segunda lleva la dirección de la diagonal, de vector unitario $(-\mathrm{0,8};\mathrm{0,6})$:

${\vec{F}}_2=-\mathrm{1,38}\cdot {10}^{-7}\vec{\mathrm{ı}}+\mathrm{1,04}\cdot {10}^{-7}\vec{\mathrm{ȷ}}\text{ N}$

Por el principio de superposición:

$\vec{F}=-\mathrm{4,08}\cdot {10}^{-7}\vec{\mathrm{ı}}+\mathrm{1,04}\cdot {10}^{-7}\vec{\mathrm{ȷ}}\text{ N}$

$F=\sqrt{(\mathrm{4,08}\cdot {10}^{-7}{)}^2+(\mathrm{1,04}\cdot {10}^{-7}{)}^2}=\mathrm{4,21}\cdot {10}^{-7}\text{ N}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{dulo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{llevar}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{carga}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{8}}\mathbf{\text{nC}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{P}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{M}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{cargas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{12}}\mathbf{\text{nC.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se calculan los potenciales en los dos puntos, sumando el de cada carga como escalares.

En P las distancias son 8 μm y 10 μm:

$V(\text{P})=9\cdot {10}^9\cdot 12\cdot {10}^{-9}({\displaystyle \frac{1}{8\cdot {10}^{-6}}}+{\displaystyle \frac{1}{{10}^{-5}}})=\mathrm{2,43}\cdot {10}^7\text{ V}$

El punto M está en la mitad del lado derecho, así que equidista de las dos cargas:

$r_M=\sqrt{8^2+3^2}=\mathrm{8,544}\mu \text{m}=\mathrm{8,544}\cdot {10}^{-6}\text{ m}$

$V(\text{M})=9\cdot {10}^9\cdot 12\cdot {10}^{-9}\cdot {\displaystyle \frac{2}{\mathrm{8,544}\cdot {10}^{-6}}}=\mathrm{2,528}\cdot {10}^7\text{ V}$

El trabajo que hay que hacer para llevar la carga de P a M es:

$\mathrm{\mid }W\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }q[V(\text{M})-V(\text{P})]\mathrm{\mid }=8\cdot {10}^{-9}\cdot (\mathrm{2,528}\cdot {10}^7-\mathrm{2,43}\cdot {10}^7)$

$\mathrm{\mid }W\mathrm{\mid }=8\cdot {10}^{-9}\cdot \mathrm{9,81}\cdot {10}^5=\mathrm{7,85}\cdot {10}^{-3}\text{ J}$

El módulo del trabajo es $\mathrm{7,85}\cdot {10}^{-3}\text{ J}$. Como M está a mayor potencial que P y la carga es positiva, ese trabajo lo tiene que hacer una fuerza externa contra el campo.