Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2022

Dos partículas con cargas eléctricas de 6 nC y $-12\text{ nC}$, respectivamente, están separadas 9 mm. Calcule:

a) El potencial eléctrico en el punto medio entre las cargas. [0,4 puntos]

b) El campo eléctrico en el punto entre las cargas donde el potencial es nulo. [0,8 puntos]

c) El trabajo que hace una fuerza externa para alejar la carga negativa de 5 mm a 8 mm de la carga positiva. Mencione la relación con el trabajo hecho por el campo. [0,8 puntos]

Datos: $K=9\cdot {10}^9{\text{N m}}^2{\text{ C}}^{-2}$; $V=K{\displaystyle \frac{q}{r}}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{cargas.}}\mathbf{\text{[0,4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El punto medio está a 4,5 mm de cada carga. El potencial es escalar y se suma con el signo de cada una:

$V=K({\displaystyle \frac{q_1}{r_1}}+{\displaystyle \frac{q_2}{r_2}})=9\cdot {10}^9({\displaystyle \frac{6\cdot {10}^{-9}}{\mathrm{4,5}\cdot {10}^{-3}}}+{\displaystyle \frac{-12\cdot {10}^{-9}}{\mathrm{4,5}\cdot {10}^{-3}}})$

$V=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{-6\cdot {10}^{-9}}{\mathrm{4,5}\cdot {10}^{-3}}}=-\mathrm{1,2}\cdot {10}^4\text{ V}$

El potencial en el punto medio vale $-12000\text{ V}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{cargas}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{nulo.}}\mathbf{\text{[0,8}}\mathbf{\text{puntos]}}$










Se llama $x$ a la distancia desde la carga positiva. El punto está entre las dos, así que dista $9-x$ milímetros de la negativa. Se impone que el potencial se anule:

${\displaystyle \frac{6}{x}}+{\displaystyle \frac{-12}{9-x}}=0$

$6(9-x)=12x\Rightarrow 54=18x$

$x=3\text{ mm}$





El punto de potencial nulo está a 3 mm de la carga positiva y a 6 mm de la negativa. Allí los dos campos apuntan en el mismo sentido —el de la carga positiva se aleja de ella y el de la negativa se dirige hacia ella—, de modo que se suman:

$E_{+}=K{\displaystyle \frac{6\cdot {10}^{-9}}{(3\cdot {10}^{-3}{)}^2}}=\mathrm{6,0}\cdot {10}^6\text{ N/C}$

$E_{-}=K{\displaystyle \frac{12\cdot {10}^{-9}}{(6\cdot {10}^{-3}{)}^2}}=\mathrm{3,0}\cdot {10}^6\text{ N/C}$

$E=\mathrm{6,0}\cdot {10}^6+\mathrm{3,0}\cdot {10}^6=\mathrm{9,0}\cdot {10}^6\text{ N/C}$

El campo vale $\mathrm{9,0}\cdot {10}^6\text{ N/C}$ y va de la carga positiva hacia la negativa. El ejercicio ilustra que un potencial nulo no implica un campo nulo: el potencial es un escalar y sus dos términos se cancelan, mientras que los campos son vectores del mismo sentido y se suman.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hace}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{externa}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{alejar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{carga}}\mathbf{\text{negativa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{mm}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{8}}\mathbf{\text{mm}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{carga}}\mathbf{\text{positiva.}}\mathbf{\text{Mencione}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{relaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{hecho}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo.}}\mathbf{\text{[0,8}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La energía potencial del par de cargas es:

$E_p=K{\displaystyle \frac{q_1{q}_2}{r}}$

En la posición inicial:

$E_{p,i}=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{6\cdot {10}^{-9}\cdot (-12\cdot {10}^{-9})}{5\cdot {10}^{-3}}}=-\mathrm{1,296}\cdot {10}^{-4}\text{ J}$

Y en la final:

$E_{p,f}=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{6\cdot {10}^{-9}\cdot (-12\cdot {10}^{-9})}{8\cdot {10}^{-3}}}=-\mathrm{8,10}\cdot {10}^{-5}\text{ J}$

Si el traslado se hace sin variar la energía cinética, el trabajo de la fuerza externa es igual al aumento de la energía potencial:

$W_{\text{externa}}=\mathrm{\Delta }{E}_p=-\mathrm{8,10}\cdot {10}^{-5}+\mathrm{1,296}\cdot {10}^{-4}$

$W_{\text{externa}}=\mathrm{4,86}\cdot {10}^{-5}\text{ J}$

El trabajo de la fuerza externa es de $\mathrm{4,86}\cdot {10}^{-5}\text{ J}$, positivo porque hay que vencer la atracción entre cargas de signo contrario.

En cuanto a la relación con el trabajo del campo: por ser el campo eléctrico conservativo, el trabajo de la fuerza eléctrica es la disminución de la energía potencial,

$W_{\text{campo}}=-\mathrm{\Delta }{E}_p=-\mathrm{4,86}\cdot {10}^{-5}\text{ J}$

es decir, exactamente el opuesto del trabajo externo. Al no variar la energía cinética, los dos se compensan y su suma es nula.