Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2024

a) Dibuje el rectángulo, los vectores que representan cualitativamente los campos eléctricos en el punto P a causa de cada carga por separado, y la suma gráfica de los vectores. Indique el número de la flecha que representa el campo total. [0,6 puntos]

b) Calcule el módulo del campo eléctrico en el punto B a causa de las dos cargas. [0,8 puntos]

c) Calcule la diferencia de potencial eléctrico $V(\text{B})-V(\text{D})$ a causa de las dos cargas. El punto D está en el centro del rectángulo. [0,6 puntos]

Dato: $K=9\cdot {10}^9{\text{N m}}^2{\text{ C}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Dibuje}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rect}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo,}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{vectores}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{representan}}\mathbf{\text{cualitativamente}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{campos}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctricos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{P}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{causa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{carga}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{separado,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{suma}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{vectores.}}\mathbf{\text{Indique}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{flecha}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{representa}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{total.}}\mathbf{\text{[0,6}}\mathbf{\text{puntos]}}$










El punto P es el vértice superior derecho. Sus distancias a las cargas son:

$r_1=\sqrt{{32}^2+{24}^2}=40\text{ cm (la diagonal)}$

$r_2=24\text{ cm}$

El campo de la carga negativa apunta de P hacia ella, a lo largo de la diagonal; el de la carga positiva se aleja de ella, verticalmente hacia arriba.





Los módulos son:

$E_1=K{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{q}_1\mathrm{\mid }}{r_1^2}}=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{8\cdot {10}^{-9}}{{\mathrm{0,40}}^2}}=450\text{ N/C}$

$E_2=K{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{q}_2\mathrm{\mid }}{r_2^2}}=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{8\cdot {10}^{-9}}{{\mathrm{0,24}}^2}}=1250\text{ N/C}$

El vector unitario de la diagonal, de P hacia la carga negativa, es $(-\mathrm{0,8};-\mathrm{0,6})$, de modo que:

${\vec{E}}_1=-360\vec{\mathrm{ı}}-270\vec{\mathrm{ȷ}}\text{ N/C},{\vec{E}}_2=1250\vec{\mathrm{ȷ}}\text{ N/C}$

${\vec{E}}_P=-360\vec{\mathrm{ı}}+980\vec{\mathrm{ȷ}}\text{ N/C}$

La resultante apunta hacia arriba y ligeramente hacia la izquierda. Su ángulo con el semieje $X$ positivo es:

$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{980}{-360}}\Rightarrow \alpha ={110}^{\circ }$

Esa es la dirección de la flecha número 3 del abanico.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{dulo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{B}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{causa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{cargas.}}\mathbf{\text{[0,8}}\mathbf{\text{puntos]}}$










El punto B es el vértice superior izquierdo, y las distancias son las mismas que antes pero intercambiadas:

$r_1=24\text{ cm},r_2=40\text{ cm}$

El campo de la carga negativa apunta hacia ella, es decir, verticalmente hacia abajo; el de la positiva se aleja de ella a lo largo de la diagonal.





Los módulos son:

$E_1=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{8\cdot {10}^{-9}}{{\mathrm{0,24}}^2}}=1250\text{ N/C}$

$E_2=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{8\cdot {10}^{-9}}{{\mathrm{0,40}}^2}}=450\text{ N/C}$

En componentes, con el unitario de la diagonal $(-\mathrm{0,8};\mathrm{0,6})$:

${\vec{E}}_1=-1250\vec{\mathrm{ȷ}}\text{ N/C}$

${\vec{E}}_2=-360\vec{\mathrm{ı}}+270\vec{\mathrm{ȷ}}\text{ N/C}$

${\vec{E}}_B=-360\vec{\mathrm{ı}}-980\vec{\mathrm{ȷ}}\text{ N/C}$

Y su módulo:

$E_B=\sqrt{{360}^2+{980}^2}=\sqrt{\mathrm{1,09}\cdot {10}^6}=\mathrm{1,04}\cdot {10}^3\text{ N/C}$

El campo en B vale $\mathrm{1,04}\cdot {10}^3\text{ N/C}$, el mismo módulo que en P: el problema es simétrico respecto del centro del rectángulo.



El potencial es escalar y se suma con el signo de cada carga:

$V=K{\sum }_i{\displaystyle \frac{q_i}{r_i}}$

En el punto B las distancias son 24 cm a la carga negativa y 40 cm a la positiva:

$V(\text{B})=9\cdot {10}^9({\displaystyle \frac{-8\cdot {10}^{-9}}{\mathrm{0,24}}}+{\displaystyle \frac{8\cdot {10}^{-9}}{\mathrm{0,40}}})=72(-\mathrm{4,167}+\mathrm{2,5})$

$V(\text{B})=-120\text{ V}$

El punto D es el centro del rectángulo, así que equidista de las dos cargas: está a media diagonal, 20 cm de cada una. Como las cargas son iguales y opuestas, sus potenciales se cancelan:

$V(\text{D})=9\cdot {10}^9({\displaystyle \frac{-8\cdot {10}^{-9}}{\mathrm{0,20}}}+{\displaystyle \frac{8\cdot {10}^{-9}}{\mathrm{0,20}}})=0\text{ V}$

Por tanto:

$V(\text{B})-V(\text{D})=-120-0=-120\text{ V}$

La diferencia de potencial es de $-120\text{ V}$. El centro del rectángulo está sobre el plano mediador del dipolo, donde el potencial es nulo.