Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Cataluña · 2021

En una región del espacio de forma cuadrada y de lado $d=12\text{ mm}$, hay un campo eléctrico uniforme y constante de valor $\mathrm{2,00}\cdot {10}^6\text{ N/C}$.



a) ¿Cuál es la diferencia de potencial, $V_B-V_A$, entre los puntos $A$ y $B$ de la figura? ¿Cuál es la diferencia de potencial, $V_D-V_C$, entre los puntos $C$ y $D$ de la figura? Justifique las respuestas. [1,25 puntos]

b) Dejamos un protón, inicialmente parado, en el punto $A$. ¿Qué movimiento describirá? Justifique la respuesta. ¿Qué velocidad (solo el módulo) tendrá en el instante en que abandone esta región cuadrada? ¿Qué trabajo ha hecho el campo eléctrico sobre el protón? [1,25 puntos]

Datos: $m_p=\mathrm{1,67}\cdot {10}^{-27}\text{ kg}$; $\mathrm{\mid }e\mathrm{\mid }=\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$.

En un campo eléctrico uniforme la diferencia de potencial entre dos puntos es el producto del campo por el desplazamiento medido en la dirección del campo, con signo negativo porque el potencial disminuye en el sentido del campo:

$V_B-V_A=-\vec{E}\cdot \overrightarrow{AB}=-Ed$

Los puntos $A$ y $B$ están alineados con el campo y separados el lado del cuadrado:

$V_B-V_A=-\mathrm{2,00}\cdot {10}^6\cdot 12\cdot {10}^{-3}$

$V_B-V_A=-\mathrm{2,4}\cdot {10}^4\text{V}$

El potencial en $B$ es menor que en $A$, como corresponde a un punto situado en el sentido del campo.

Los puntos $C$ y $D$, en cambio, están sobre la misma vertical, es decir, sobre una recta perpendicular al campo. El desplazamiento $\overrightarrow{CD}$ es perpendicular a $\vec{E}$ y su producto escalar es nulo:

$V_D-V_C=-\vec{E}\cdot \overrightarrow{CD}=0\text{V}$

$C$ y $D$ están sobre la misma superficie equipotencial, que en un campo uniforme es un plano perpendicular a las líneas de campo.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Dejamos}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{prot}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{inicialmente}}\mathbf{\text{parado,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{A}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{movimiento}}\mathbf{\text{describir}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{?}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{tendr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{abandonar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{hecho}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico?}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Sobre el protón actúa la fuerza eléctrica:

$\vec{F}=q\vec{E}$

Como la carga es positiva, la fuerza tiene la misma dirección y sentido que el campo. Y como el campo es uniforme, la fuerza es constante y también lo es la aceleración. Partiendo del reposo, el protón describe un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en la dirección del campo, es decir, de $A$ hacia $B$.

El trabajo que realiza el campo eléctrico al llevar la carga de $A$ a $B$ es:

$W=q(V_A-V_B)=\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}\cdot \mathrm{2,4}\cdot {10}^4$

$W=\mathrm{3,84}\cdot {10}^{-15}\text{J}$

Como no hay otras fuerzas, por el teorema de la energía cinética todo ese trabajo se convierte en energía cinética:

$W=\mathrm{\Delta }{E}_c=\frac{1}{2}{m}_p{v}^2-0$

$v=\sqrt{\frac{2W}{m_p}}=\sqrt{\frac{2\cdot \mathrm{3,84}\cdot {10}^{-15}}{\mathrm{1,67}\cdot {10}^{-27}}}$

$v=\mathrm{2,15}\cdot {10}^6\text{m/s}$

El protón abandona la región con una celeridad de $\mathrm{2,15}\cdot {10}^6\text{m/s}$, muy inferior a la de la luz, así que el tratamiento clásico es válido.