Examen de Física de Comunidad de Madrid 2021 (convocatoria extraordinaria)

A.1 (2 puntos). Una nave espacial ha quedado atrapada en una órbita circular en torno a un planeta esférico desconocido. Los sistemas de navegación de la nave indican que su velocidad orbital es de $25000\mathrm{k}\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{h}$ y que tarda $5$ horas en dar una vuelta completa alrededor del planeta.

a) Determine el radio de la órbita circular de la nave y la masa del planeta.

b) Si la densidad del planeta es de $16150\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{/}{\mathrm{m}}^3$, calcule el radio del planeta y el valor de la aceleración de la gravedad en su superficie.

Dato: Constante de Gravitación Universal, $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}$.

A.2 (2 puntos). Anacleto, el agente secreto, está grabando con un teléfono inteligente, a través de una pared, una conversación muy delicada del malvado Vázquez. La distancia entre ambos es de $5\mathrm{m}$ y, por efecto de la pared, al teléfono solo llega un $2\mathrm{\%}$ de la intensidad que llegaría si no hubiese pared. Se sabe que el nivel de intensidad sonora de una conversación a $1\mathrm{m}$ es de $50\mathrm{d}\mathrm{B}$.

a) Calcule el nivel de intensidad sonora que llega al teléfono inteligente.

b) Si el teléfono es capaz de grabar conversaciones a $100\mathrm{m}$ de distancia, ¿cuál es el nivel más bajo de intensidad sonora que llega a esa distancia que es capaz de grabar?

Dato: Intensidad umbral de audición, $I_0={10}^{-12}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$.

A.3 (2 puntos). Se tienen tres hilos indefinidos de corriente (ver figura). Los hilos de intensidades $I_1=2\mathrm{A}$ e $I_2=2\mathrm{A}$ son paralelos al eje $x$ y pasan por los puntos $(0,0,0)$ y $(0,0,4)\mathrm{m}$, respectivamente. El tercer hilo, con una intensidad $I_3=3\mathrm{A}$ pasa por el origen de coordenadas y es paralelo al eje $y$. En todos los casos la corriente va en el sentido positivo de los ejes. Calcule:

a) El campo magnético total creado por los tres hilos en el punto $(0,0,2)\mathrm{m}$.

b) La fuerza magnética por unidad de longitud que ejerce el hilo de intensidad $I_1$ sobre el hilo de intensidad $I_2$. ¿La fuerza es atractiva o repulsiva?

Dato: Permeabilidad magnética del vacío, ${\mu }_0=4\pi \cdot {10}^{-7}\mathrm{N}{\mathrm{A}}^{-2}$.

A.4 (2 puntos). Sea un sistema óptico formado por dos lentes convergentes, una lente A de distancia focal $f_A^{\mathrm{\prime }}$ y otra B, situada $80\mathrm{c}\mathrm{m}$ a la derecha de A, de distancia focal $f_B^{\mathrm{\prime }}=30\mathrm{c}\mathrm{m}$. Un objeto de $5\mathrm{c}\mathrm{m}$ de altura está situado $15\mathrm{c}\mathrm{m}$ a la izquierda de la lente A.

a) Si la imagen del objeto formada por el sistema de lentes aparece $75\mathrm{c}\mathrm{m}$ a la derecha de la lente B, ¿cuánto vale la distancia focal de la lente A y el tamaño de la imagen formada por el sistema de lentes?

b) ¿Dónde hay que situar el objeto a la izquierda de la lente A, para que el sistema de lentes forme la imagen en el infinito?

A.5 (2 puntos). En un experimento realizado en un acelerador de partículas se han originado un electrón relativista de velocidad $\mathrm{0,75}c$, siendo $c$ la velocidad de la luz, y un fotón de $15\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{V}$ de energía.

a) Calcule la masa relativista y la energía cinética del electrón.

b) Determine la longitud de onda del fotón y la longitud de de Broglie del electrón.

Datos: Valor absoluto de la carga del electrón, $e=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\mathrm{C}$; Masa del electrón en reposo, $m_e=\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\mathrm{k}\mathrm{g}$; Constante de Planck, $h=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}$; Velocidad de la luz en el vacío, $c=3\cdot {10}^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$.

B.1 (2 puntos). Una partícula de masa $m$ se encuentra en el origen de coordenadas de un sistema de referencia $(x,y)$. La componente $x$ del campo gravitatorio creado por la partícula en el punto $(2,2)\mathrm{m}$ es $-\mathrm{1,18}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$.

a) Calcule el valor de la masa $m$.

b) ¿Cuál es el trabajo que realiza el campo para llevar una partícula de masa $M=5\mathrm{k}\mathrm{g}$ desde el punto $(4,0)\mathrm{m}$ al punto $(2,2)\mathrm{m}$?

Dato: Constante de Gravitación Universal, $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}$.

B.2 (2 puntos). Una onda transversal se propaga en una cuerda situada a lo largo del eje $x$. La propagación de la onda es en el sentido positivo del eje $x$. La expresión matemática de la onda en los instantes $t=0\mathrm{s}$ y $t=2\mathrm{s}$ es $y(x,0)=\mathrm{0,1}\cos (\pi -4\pi x)\mathrm{m}$ e $y(x,2)=\mathrm{0,1}\cos (11\pi -4\pi x)\mathrm{m}$, respectivamente, donde todas las magnitudes están expresadas en el SI de unidades. Calcule:

a) La frecuencia angular y la expresión matemática de la onda.

b) La velocidad de propagación de la onda y la aceleración máxima de oscilación de un punto de la cuerda.

B.3 (2 puntos). Un espectrómetro de masas es un dispositivo para medir la masa de los iones y cuyo esquema se muestra en la figura. Consta de un selector de velocidades, en el que, mediante un campo eléctrico y un campo magnético mutuamente perpendiculares, se seleccionan únicamente los iones que viajan en línea recta paralela al eje $x$ de la figura y con un valor determinado de la velocidad. A continuación, los iones pasan a una segunda región con un campo magnético perpendicular a la velocidad de los iones, de forma que éstos realizan una trayectoria circular. En el experimento se usan iones ${}^{16}\mathrm{O}$ cuya masa es $\mathrm{2,7}\cdot {10}^{-26}\mathrm{k}\mathrm{g}$ y carga es $+e$. En el selector de velocidades el campo eléctrico y magnético tienen valores $\vec{E}={\mathrm{4,010}}^4\vec{j}\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1}$ y ${\vec{B}}_1=2\vec{k}\mathrm{T}$. El campo magnético en la segunda región del espectrómetro de masas es ${\vec{B}}_2=5\vec{k}\mathrm{T}$. Calcule:

a) La velocidad de los iones de oxígeno que viajan en línea recta a lo largo del eje $x$ en el selector de velocidades.

b) El radio de la órbita circular descrita por los iones en la segunda región del espectrómetro de masas donde el campo magnético es $B_2$.

Dato: Valor absoluto de la carga del electrón, $e=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\mathrm{C}$.

B.4 (2 puntos). Sean dos medios A y B de índices de refracción $n_A$ y $n_B$, respectivamente. Un rayo de luz de frecuencia $\mathrm{6,04}\cdot {10}^{14}\mathrm{H}\mathrm{z}$ incide desde el medio A hacia el medio B, verificándose que el ángulo límite para la reflexión total es $\mathrm{45,58}\mathrm{°}$. Sabiendo que $n_A-n_B=\mathrm{0,6}$, determine:

a) Los índices de refracción $n_A$ y $n_B$ de ambos medios.

b) Las longitudes de onda del rayo de luz incidente en los medios A y B.

Dato: Velocidad de la luz en el vacío, $c=3\cdot {10}^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$.

B.5 (2 puntos). El patrón del kilogramo es un cilindro hecho con una aleación de platino-iridio ($90\mathrm{\%}$ en masa de Pt) que se encuentra en un museo de París. El platino está formado por diversos isótopos, uno de ellos, el ${}^{190}\mathrm{P}\mathrm{t}$, es radiactivo siendo su tiempo de semidesintegración de $\mathrm{6,5}\cdot {10}^{11}$ años. El porcentaje del isótopo ${}^{190}\mathrm{P}\mathrm{t}$ en una muestra de platino es del $\mathrm{0,012}\mathrm{\%}$ en masa.

a) Calcule la actividad inicial del patrón del kilogramo.

b) ¿Cuál será la masa final del platino ${}^{190}\mathrm{P}\mathrm{t}$ que queda en el patrón del kilogramo transcurridos mil millones de años?

Datos: Masa atómica del isótopo ${}^{190}\mathrm{P}\mathrm{t}$, $M=\mathrm{189,96}\mathrm{u}$; Número de Avogadro, $N_A=\mathrm{6,02}\cdot {10}^{23}\mathrm{m}\mathrm{o}{\mathrm{l}}^{-1}$.