Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Comunidad de Madrid · 2021

A.2 (2 puntos). Anacleto, el agente secreto, está grabando con un teléfono inteligente, a través de una pared, una conversación muy delicada del malvado Vázquez. La distancia entre ambos es de $5\mathrm{m}$ y, por efecto de la pared, al teléfono solo llega un $2\mathrm{\%}$ de la intensidad que llegaría si no hubiese pared. Se sabe que el nivel de intensidad sonora de una conversación a $1\mathrm{m}$ es de $50\mathrm{d}\mathrm{B}$.

a) Calcule el nivel de intensidad sonora que llega al teléfono inteligente.

b) Si el teléfono es capaz de grabar conversaciones a $100\mathrm{m}$ de distancia, ¿cuál es el nivel más bajo de intensidad sonora que llega a esa distancia que es capaz de grabar?

Dato: Intensidad umbral de audición, $I_0={10}^{-12}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$.

Antes de entrar en cada apartado conviene fijar las dos relaciones que vamos a usar.

El nivel de intensidad sonora (en decibelios) se define a partir de la intensidad $I$ y de la intensidad umbral de audición $I_0$ mediante:

$\beta =10\log \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{I}{I_0}}\right)$

Además, la fuente emite ondas esféricas. Si no hay absorción, la potencia $P$ se reparte sobre la superficie de una esfera de radio $r$, de modo que la intensidad disminuye con el cuadrado de la distancia:

$I={\displaystyle \frac{P}{4\pi r^2}}$

El primer paso, común a los dos apartados, es obtener la potencia de la fuente a partir del dato de los $50\mathrm{d}\mathrm{B}$ a $1\mathrm{m}$.

Despejamos la intensidad a $1\mathrm{m}$ de la definición de nivel sonoro:

$50=10\log \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{I_1}{I_0}}\right)\Rightarrow {\displaystyle \frac{I_1}{I_0}}={10}^5$

$I_1={10}^5\cdot I_0={10}^5\cdot {10}^{-12}={10}^{-7}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$

Con esta intensidad y $r=1\mathrm{m}$ calculamos la potencia de la fuente (que es una propiedad de la conversación, independiente de la distancia):

$P=I_1\cdot 4\pi r^2={10}^{-7}\cdot 4\pi (1{)}^2=4\pi \cdot {10}^{-7}\mathrm{W}\approx \mathrm{1,26}\cdot {10}^{-6}\mathrm{W}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{sonora}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{llega}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{tel}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{fono}}\mathbf{\text{inteligente.}}$

El teléfono está a $r=5\mathrm{m}$. Primero hallamos la intensidad que llegaría sin la pared, repartiendo la potencia sobre la esfera de radio $5\mathrm{m}$:

$I_{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}={\displaystyle \frac{P}{4\pi r^2}}={\displaystyle \frac{4\pi \cdot {10}^{-7}}{4\pi (5{)}^2}}={\displaystyle \frac{{10}^{-7}}{25}}=4\cdot {10}^{-9}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$

La pared deja pasar solo el $2\mathrm{\%}$ de esa intensidad, es decir, la multiplicamos por $\mathrm{0,02}$:

$I^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{0,02}\cdot I_{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}=\mathrm{0,02}\cdot 4\cdot {10}^{-9}=8\cdot {10}^{-11}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$

Por último, transformamos esta intensidad en nivel sonoro:

${\beta }^{\mathrm{\prime }}=10\log \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{I^{\mathrm{\prime }}}{I_0}}\right)=10\log \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{8\cdot {10}^{-11}}{{10}^{-12}}}\right)=10\log (80)$

${\beta }^{\mathrm{\prime }}=10\cdot \mathrm{1,903}=\mathrm{19,03}\mathrm{d}\mathrm{B}$

Por tanto, al teléfono de Anacleto llega un nivel de intensidad sonora de:

$\boxed{{\displaystyle {\beta }^{\mathrm{\prime }}\approx \mathrm{19,03}\mathrm{d}\mathrm{B}}}$



La distancia máxima de grabación nos da, justamente, la intensidad más débil que el micrófono es capaz de registrar: la que llega de esa misma conversación cuando la fuente está a $r=100\mathrm{m}$ (ahora sin pared de por medio).

Aplicamos de nuevo el reparto de la potencia sobre la esfera, esta vez de radio $100\mathrm{m}$:

$I^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{P}{4\pi r^2}}={\displaystyle \frac{4\pi \cdot {10}^{-7}}{4\pi (100{)}^2}}={\displaystyle \frac{{10}^{-7}}{{10}^4}}={10}^{-11}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$

Y obtenemos el nivel sonoro correspondiente:

${\beta }^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=10\log \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{I^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}}{I_0}}\right)=10\log \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{{10}^{-11}}{{10}^{-12}}}\right)=10\log (10)=10\cdot 1=10$

Por tanto, el nivel de intensidad sonora más bajo que el teléfono puede grabar es:

$\boxed{{\displaystyle {\beta }^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=10\mathrm{d}\mathrm{B}}}$

Este valor representa la sensibilidad del aparato: cualquier sonido por encima de $10\mathrm{d}\mathrm{B}$ a esa distancia sería grabable.