Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Comunidad de Madrid · 2022

A.2 (2 puntos). Por una cuerda dispuesta a lo largo del eje $x$ viaja una onda armónica que desplaza los elementos de la cuerda en la dirección del eje $y$. Se sabe que los elementos $A$ y $B$, respectivamente ubicados en $x_A=0\mathrm{m}$ y $x_B=2\mathrm{m}$, oscilan en fase y cortan al eje $x$ cada $4\mathrm{s}$. Teniendo en cuenta que no hay entre $A$ y $B$ ningún otro elemento que oscile en fase con ellos:

a) Calcule el valor de la velocidad de propagación.

b) Escriba la expresión matemática de la onda, si ésta viaja en el sentido negativo del eje $x$ y en el instante inicial los elementos $A$ y $B$ presentan desplazamiento igual a $+10\mathrm{c}\mathrm{m}$ y velocidad nula.

Estamos ante una onda armónica transversal que se propaga por una cuerda. La perturbación viaja a lo largo del eje $x$, mientras que cada elemento de la cuerda oscila perpendicularmente, a lo largo del eje $y$. Antes de calcular nada conviene traducir los datos del enunciado a las magnitudes características de la onda: la longitud de onda $\lambda$ y el periodo $T$.



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Dos elementos de la cuerda oscilan en fase cuando su diferencia de fase es un número entero de vueltas completas, es decir, cuando la distancia que los separa es un múltiplo entero de la longitud de onda:

$\mathrm{\Delta }x=n\lambda ,n=1,2,3,\dots$

El enunciado precisa que $A$ y $B$ oscilan en fase y que entre ambos no hay ningún otro elemento en fase con ellos. Esto significa que la distancia $x_B-x_A$ corresponde a una única longitud de onda completa ($n=1$); si fuese $2\lambda$, $3\lambda$, etc., aparecería al menos un punto intermedio oscilando también en fase. Por tanto:

$\lambda =x_B-x_A=2\mathrm{m}-0\mathrm{m}=2\mathrm{m}$

En la figura se aprecia esta idea: $A$ y $B$ ocupan crestas consecutivas y entre ellas no hay ninguna otra cresta, de modo que el patrón espacial se repite cada $2\mathrm{m}$.

Para el periodo, recordemos que un elemento de la cuerda corta el eje $x$ (pasa por su posición de equilibrio, $y=0$) dos veces en cada ciclo completo: una vez subiendo y otra bajando. Así, el tiempo que transcurre entre dos cortes consecutivos es medio periodo:

${\displaystyle \frac{T}{2}}=4\mathrm{s}⟹T=8\mathrm{s}$

La velocidad de propagación de una onda armónica relaciona el espacio que recorre el frente de onda (una longitud de onda) con el tiempo que tarda en hacerlo (un periodo):

$v={\displaystyle \frac{\lambda }{T}}$

Sustituyendo los valores:

$v={\displaystyle \frac{2\mathrm{m}}{8\mathrm{s}}}=\mathrm{0,25}\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}$

Por tanto, la velocidad de propagación de la onda por la cuerda es:

$\boxed{{\displaystyle v=\mathrm{0,25}\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}}}$



La ecuación general de una onda armónica transversal que se propaga a lo largo del eje $x$ es:

$y(x,t)=A_0\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}(\omega t\mp kx+{\phi }_0)$

donde el signo del término $kx$ marca el sentido de avance: el signo $-$ corresponde a una onda que viaja en el sentido positivo del eje $x$ y el signo $+$ a una onda que viaja en el sentido negativo. Como aquí la onda se propaga en el sentido negativo del eje $x$, tomamos el signo $+$:

$y(x,t)=A_0\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}(\omega t+kx+{\phi }_0)$

Determinamos ahora cada constante. La amplitud es el desplazamiento máximo de los elementos de la cuerda. En $t=0$ los puntos $A$ y $B$ tienen velocidad nula y desplazamiento $+10\mathrm{c}\mathrm{m}$: la velocidad de oscilación se anula precisamente en los extremos del movimiento (las crestas y los valles), luego ese desplazamiento es el máximo y coincide con la amplitud:

$A_0=10\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{0,1}\mathrm{m}$

La frecuencia angular se obtiene a partir del periodo calculado en el apartado anterior:

$\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}={\displaystyle \frac{2\pi }{8\mathrm{s}}}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{/}\mathrm{s}$

El número de onda se obtiene a partir de la longitud de onda:

$k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}={\displaystyle \frac{2\pi }{2\mathrm{m}}}=\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{/}\mathrm{m}$

Falta la fase inicial ${\phi }_0$. La imponemos con las condiciones en $t=0$. Para el punto $A$ ($x_A=0$), el desplazamiento debe ser máximo:

$y(0,0)=A_0\cos ({\phi }_0)=+A_0⟹\cos ({\phi }_0)=1⟹{\phi }_0=0$

Comprobamos que también se cumple la condición de velocidad nula. La velocidad transversal de un elemento es la derivada del desplazamiento respecto al tiempo:

$v_y(x,t)={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}}=-A_0\omega \mathrm{sen}\text{\hspace{0.17em}⁣}(\omega t+kx+{\phi }_0)$

En $t=0$ y $x=0$, con ${\phi }_0=0$:

$v_y(0,0)=-A_0\omega \mathrm{sen}(0)=0$

efectivamente nula, como exige el enunciado. La elección ${\phi }_0=0$ es por tanto coherente con ambas condiciones (y como $A$ y $B$ oscilan en fase, lo que vale para $A$ vale para $B$).

Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación general, con las magnitudes en unidades del SI ($x$ en metros y $t$ en segundos):

$\boxed{{\displaystyle y(x,t)=\mathrm{0,1}\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}({\displaystyle \frac{\pi }{4}}t+\pi x)(\mathrm{m})}}$