Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Comunidad de Madrid · 2023

A lo largo de una cuerda se propaga en el sentido $+x$ una onda transversal. El periodo de oscilación y la elongación máxima de un punto cualquiera de la cuerda son, respectivamente, $4\cdot {10}^{-3}\mathrm{s}$ y $3\mathrm{c}\mathrm{m}$. La distancia mínima entre dos puntos cualesquiera de la cuerda que oscilan en fase es de $\mathrm{0,25}\mathrm{m}$. En el instante $2\cdot {10}^{-3}\mathrm{s}$ la elongación de un punto situado a $+\mathrm{0,5}\mathrm{m}$ del origen de coordenadas es de $-\mathrm{1,5}\mathrm{m}\mathrm{m}$ y su velocidad de oscilación en ese instante es positiva.
a) Halle la frecuencia angular y la velocidad de propagación de la onda.
b) Obtenga la expresión matemática que describe a la onda.

Resumimos los datos del enunciado, que usaremos en los dos apartados:

$T=4\cdot {10}^{-3}\mathrm{s},A=3\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{0,03}\mathrm{m},\lambda =\mathrm{0,25}\mathrm{m}\mathrm{.}$

La distancia mínima entre dos puntos que oscilan en fase es precisamente la longitud de onda, por eso $\lambda =\mathrm{0,25}\mathrm{m}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{angular}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La frecuencia angular se relaciona con el periodo mediante:

$\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}\mathrm{.}$

Sustituyendo los valores:

$\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{4\cdot {10}^{-3}\mathrm{s}}}=500\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{/}\mathrm{s}\approx \mathrm{1570,8}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{/}\mathrm{s}\mathrm{.}$

$\boxed{{\displaystyle \omega =500\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{/}\mathrm{s}\approx \mathrm{1570,8}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{/}\mathrm{s}}}$

La velocidad de propagación de la onda es la rapidez con la que avanza el frente de onda. Recordando que en un periodo la onda recorre una longitud de onda:

$v={\displaystyle \frac{\lambda }{T}}=\lambda f\mathrm{.}$

Sustituyendo los valores:

$v={\displaystyle \frac{\mathrm{0,25}\mathrm{m}}{4\cdot {10}^{-3}\mathrm{s}}}=\mathrm{62,5}\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}\mathrm{.}$

$\boxed{{\displaystyle v=\mathrm{62,5}\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}}}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{matem}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{describe}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Una onda armónica transversal que se propaga en el sentido $+x$ se escribe en la forma:

$y(x,t)=A\mathrm{sen}\text{\hspace{0.17em}⁣}(\omega t-kx+{\phi }_0),$

donde $A$ es la amplitud, $\omega$ la frecuencia angular, $k$ el número de onda y ${\phi }_0$ la fase inicial. El signo negativo del término $kx$ corresponde a la propagación hacia las $x$ crecientes.

Ya conocemos $A=\mathrm{0,03}\mathrm{m}$ y $\omega =500\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{/}\mathrm{s}$. El número de onda lo obtenemos de la longitud de onda:

$k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}={\displaystyle \frac{2\pi }{\mathrm{0,25}\mathrm{m}}}=8\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{/}\mathrm{m}\approx \mathrm{25,13}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{/}\mathrm{m}\mathrm{.}$

Para determinar la fase inicial ${\phi }_0$ imponemos las dos condiciones del enunciado. En el instante $t=2\cdot {10}^{-3}\mathrm{s}$ y en la posición $x=\mathrm{0,5}\mathrm{m}$ evaluamos primero la parte conocida de la fase:

$\omega t-kx=500\pi \cdot 2\cdot {10}^{-3}-8\pi \cdot \mathrm{0,5}=\pi -4\pi =-3\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}$

Imponemos la condición sobre la elongación, $y=-\mathrm{1,5}\mathrm{m}\mathrm{m}=-\mathrm{1,5}\cdot {10}^{-3}\mathrm{m}$:

$-\mathrm{1,5}\cdot {10}^{-3}=\mathrm{0,03}\mathrm{sen}\text{\hspace{0.17em}⁣}(-3\pi +{\phi }_0)\mathrm{.}$

Como $\mathrm{sen}(-3\pi +{\phi }_0)=\mathrm{sen}({\phi }_0-\pi )=-\mathrm{sen}{\phi }_0$, queda:

$-\mathrm{1,5}\cdot {10}^{-3}=-\mathrm{0,03}\mathrm{sen}{\phi }_0⟹\mathrm{sen}{\phi }_0={\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}\cdot {10}^{-3}}{\mathrm{0,03}}}=\mathrm{0,05}\mathrm{.}$

Esta ecuación tiene dos soluciones; para elegir la correcta usamos la segunda condición. La velocidad de oscilación de un punto es la derivada de la elongación respecto al tiempo:

$v_y(x,t)={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}}=A\omega \cos \text{\hspace{0.17em}⁣}(\omega t-kx+{\phi }_0)\mathrm{.}$

En el mismo instante y posición:

$v_y=A\omega \cos (-3\pi +{\phi }_0)=-A\omega \cos {\phi }_0\mathrm{.}$

El enunciado dice que $v_y>0$, y como $A\omega >0$, debe cumplirse $\cos {\phi }_0<0$.

Por tanto necesitamos un ángulo con $\mathrm{sen}{\phi }_0=+\mathrm{0,05}$ (positivo) y $\cos {\phi }_0<0$ (negativo): se trata del segundo cuadrante. La solución es:

${\phi }_0=\pi -\arcsin (\mathrm{0,05})=\pi -\mathrm{0,050}=\mathrm{3,09}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}$

Comprobamos el resultado sustituyendo: $y=\mathrm{0,03}\mathrm{sen}(-3\pi +\mathrm{3,09})=-\mathrm{1,5}\cdot {10}^{-3}\mathrm{m}$ y $v_y=A\omega \cos (-3\pi +\mathrm{3,09})>0$, de acuerdo con las dos condiciones.

La expresión matemática de la onda, con todas las magnitudes en unidades del SI, es:

$\boxed{{\displaystyle y(x,t)=\mathrm{0,03}\mathrm{sen}\text{\hspace{0.17em}⁣}(500\pi t-8\pi x+\mathrm{3,09})(\mathrm{S}\mathrm{I})}}$

donde $y$ y $x$ se expresan en metros y $t$ en segundos.