Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Comunidad de Madrid · 2024

Por una cuerda tensa dispuesta a lo largo del eje $x$ se propaga, a una velocidad de $210\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ en el sentido positivo del eje, una onda armónica de $\mathrm{0,4}\mathrm{m}$ de longitud de onda. En el instante inicial y en el origen de coordenadas, la elongación es positiva y también lo es la velocidad de oscilación, que equivale a la mitad de su valor máximo. Obtenga:

a) El número de onda y la frecuencia de la onda.
b) La fase inicial de la onda.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El número de onda se obtiene directamente de la longitud de onda:

$k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}={\displaystyle \frac{2\pi }{\mathrm{0,4}}}=5\pi =\mathrm{15,7}\text{ rad/m}$

Y la frecuencia, de la relación entre velocidad de propagación y longitud de onda:

$v=\lambda f\Rightarrow f={\displaystyle \frac{v}{\lambda }}={\displaystyle \frac{210}{\mathrm{0,4}}}=525\text{ Hz}$

El número de onda vale $\mathrm{15,7}\text{ rad/m}$ y la frecuencia, $525\text{ Hz}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{fase}}\mathbf{\text{inicial}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










La onda avanza en el sentido positivo del eje $X$, así que su ecuación es:

$y(x,t)=A\text{sen}(\omega t-kx+{\phi }_0)$

y la velocidad de oscilación, su derivada respecto del tiempo:

$v_y=A\omega \cos (\omega t-kx+{\phi }_0)$





Se imponen las dos condiciones del enunciado en $x=0$ y $t=0$. La velocidad de oscilación es la mitad de la máxima:

$A\omega \cos {\phi }_0={\displaystyle \frac{1}{2}}A\omega \Rightarrow \cos {\phi }_0={\displaystyle \frac{1}{2}}$

${\phi }_0=\pm {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\text{ rad}$

De las dos posibilidades se descarta la negativa, porque la elongación inicial también ha de ser positiva:

$y(0,0)=A\text{sen}{\phi }_0>0\Rightarrow {\phi }_0>0$

La fase inicial de la onda es ${\phi }_0=\pi \mathrm{/}3\text{ rad}$.