Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Galicia · 2020

PREGUNTA 7. Resuelva este problema:
Una onda armónica transversal de longitud de onda $\lambda$ = 60 cm se propaga en el sentido positivo del eje x. En la gráfica se muestra la elongación (y) del punto de coordenada x = 0 en función del tiempo.



Determine:
a) la expresión matemática que describe esta onda, indicando el desfase inicial, la frecuencia y la amplitud de la onda;
b) la velocidad de propagación de la onda.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{matem}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{describe}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{onda,}}\mathbf{\text{indicando}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{desfase}}\mathbf{\text{inicial,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{amplitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda;}}$

Leemos los datos directamente de la gráfica del enunciado, que representa la elongación del punto $x=0$ frente al tiempo:

- La amplitud es el valor máximo de la elongación:

$A=\mathrm{0,8}\text{ m}$

- En los 9 s representados caben tres oscilaciones completas, así que el período es:

$T={\displaystyle \frac{9}{3}}=3\text{ s}$

$f={\displaystyle \frac{1}{T}}={\displaystyle \frac{1}{3}}=\mathrm{0,33}\text{ Hz}$

- En $t=0$ la elongación es nula y la curva crece, de modo que si escribimos la onda con un seno la fase inicial es cero:

$y(0,0)=A\text{sen}{\phi }_0=0\text{ y creciente}\Rightarrow {\phi }_0=0\text{ rad}$

Calculamos la frecuencia angular y el número de ondas, con la longitud de onda del enunciado expresada en metros:

$\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}=\mathrm{2,09}\text{ rad/s}$

$\lambda =60\text{ cm}=\mathrm{0,60}\text{ m}$

$k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}={\displaystyle \frac{2\pi }{\mathrm{0,60}}}={\displaystyle \frac{10\pi }{3}}=\mathrm{10,5}\text{ rad/m}$

Como la onda se propaga en el sentido positivo del eje $X$, la expresión matemática es:

$y(x,t)=A\text{sen}(\omega t-kx+{\phi }_0)$

$y(x,t)=\mathrm{0,8}\text{sen}({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}t-{\displaystyle \frac{10\pi }{3}}x)\text{ m}$

con $x$ e $y$ en metros y $t$ en segundos. La amplitud es $\mathrm{0,8}\text{ m}$, la frecuencia $\mathrm{0,33}\text{ Hz}$ y el desfase inicial nulo.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}$

La velocidad de propagación es el espacio que avanza la onda en un período, es decir, el producto de la longitud de onda por la frecuencia:

$v=\lambda f={\displaystyle \frac{\lambda }{T}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,60}}{3}}$

$v=\mathrm{0,20}\text{ m/s}$

Se comprueba con el cociente entre la frecuencia angular y el número de ondas:

$v={\displaystyle \frac{\omega }{k}}={\displaystyle \frac{2\pi \mathrm{/}3}{10\pi \mathrm{/}3}}={\displaystyle \frac{2}{10}}=\mathrm{0,20}\text{ m/s}$

La onda se propaga a $\mathrm{0,20}\text{ m/s}$. Esta velocidad es una propiedad del medio —de la tensión y de la densidad lineal de la cuerda— y no debe confundirse con la velocidad máxima de vibración de sus puntos, que vale $A\omega =\mathrm{1,68}\text{ m/s}$.