Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Galicia · 2023

PREGUNTA 7. Resuelva este problema:
Una onda se propaga en el sentido positivo del eje X con una velocidad de 20 $\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, una amplitud de 0,02 m y una frecuencia de 10 Hz. Determine:

a) el periodo y la longitud de onda;
b) la expresión matemática de la onda si en t = 0 s la partícula situada en el origen está en la posición de máxima elongación positiva.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda;}}$

El período es la inversa de la frecuencia:

$T={\displaystyle \frac{1}{f}}={\displaystyle \frac{1}{10}}=\mathrm{0,10}\text{ s}$

La longitud de onda es el espacio que recorre la onda en un período, es decir, el cociente entre la velocidad de propagación y la frecuencia:

$\lambda ={\displaystyle \frac{v}{f}}={\displaystyle \frac{20}{10}}=\mathrm{2,0}\text{ m}$

El período de la onda es $\mathrm{0,10}\text{ s}$ y su longitud de onda $\mathrm{2,0}\text{ m}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{matem}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{t}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{0}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{part}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{cula}}\mathbf{\text{situada}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{origen}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{elongaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{positiva.}}$

La ecuación general de una onda armónica que se propaga en el sentido positivo del eje $X$ es:

$y(x,t)=A\text{sen}(\omega t-kx+{\phi }_0)$

Calculamos la frecuencia angular y el número de ondas:

$\omega =2\pi f=2\pi \cdot 10=20\pi \text{ rad/s}$

$k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}={\displaystyle \frac{2\pi }{\mathrm{2,0}}}=\pi \text{ rad/m}$

Imponemos ahora la condición inicial. En $t=0$ y $x=0$ la elongación es la máxima positiva, es decir, igual a la amplitud:

$y(0,0)=A\Rightarrow A\text{sen}{\phi }_0=A\Rightarrow \text{sen}{\phi }_0=1$

${\phi }_0={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{ rad}$

Sustituyendo todo:

$y(x,t)=\mathrm{0,02}\text{sen}(20\pi t-\pi x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\text{ m}$

Como $\text{sen}(\alpha +\pi \mathrm{/}2)=\cos \alpha$, la misma onda se escribe de forma más compacta con un coseno:

$y(x,t)=\mathrm{0,02}\cos (20\pi t-\pi x)\text{ m}$

con $x$ e $y$ en metros y $t$ en segundos. Se comprueba la condición inicial: $y(0,0)=\mathrm{0,02}\cos 0=\mathrm{0,02}\text{ m}=A$, que es la máxima elongación positiva.