Ejercicio resuelto de Ondas · Física · País Vasco · 2022

A.2.-En una cuerda se propaga una onda armónica cuya ecuación, expresada en el Sistema Internacional de Unidades es:
$y(x,t)=\mathrm{0,2}sin(2t+4x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$
Calcular:

a) El periodo, la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de propagación
b) La velocidad máxima de vibración de un punto cualquiera de la cuerda.
c) La diferencia de fase entre dos puntos de la cuerda separados por una distancia de 50 cm.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{periodo,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{frecuencia,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

Se compara la ecuación del enunciado con la forma general de una onda armónica:

$y(x,t)=A\mathrm{sen}(\omega t+kx+{\varphi }_0)$

de donde se leen directamente la amplitud, la frecuencia angular, el número de onda y la fase inicial:

$A=\mathrm{0,2}\text{ m };\omega =2\text{ rad/s };k=4\text{ rad/m };{\varphi }_0={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\text{ rad}$

Con ellos:

$T={\displaystyle \frac{2\pi }{\omega }}={\displaystyle \frac{2\pi }{2}}=\pi =\mathrm{3,14}\text{ s}$

$f={\displaystyle \frac{1}{T}}={\displaystyle \frac{1}{\pi }}=\mathrm{0,318}\text{ Hz}$

$\lambda ={\displaystyle \frac{2\pi }{k}}={\displaystyle \frac{2\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}=\mathrm{1,57}\text{ m}$

$v={\displaystyle \frac{\lambda }{T}}={\displaystyle \frac{\omega }{k}}={\displaystyle \frac{2}{4}}=\mathrm{0,5}\text{ m/s}$

El periodo es de $\mathrm{3,14}\text{ s}$, la frecuencia de $\mathrm{0,318}\text{ Hz}$, la longitud de onda de $\mathrm{1,57}\text{ m}$ y la velocidad de propagación, de $\mathrm{0,5}\text{ m/s}$. Conviene notar que los términos en $t$ y en $x$ llevan el mismo signo, lo que indica que la onda avanza en el sentido negativo del eje $OX$: en ese sentido, su velocidad vectorial es $-\mathrm{0,5}\text{ m/s}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vibraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{cualquiera}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cuerda.}}$

La velocidad de vibración es la derivada de la elongación respecto del tiempo, y no debe confundirse con la de propagación del apartado anterior:

$v_y={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}}=A\omega \cos (2t+4x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})=\mathrm{0,4}\cos (2t+4x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$

Su valor máximo se alcanza cuando el coseno vale la unidad:

$v_{y,max}=A\omega =\mathrm{0,2}\cdot 2=\mathrm{0,4}\text{ m/s}$

La velocidad máxima de vibración es de $\mathrm{0,4}\text{ m/s}$, y cada punto la alcanza al pasar por su posición de equilibrio. Es, en este caso, menor que la velocidad de propagación, pero no hay ninguna relación general entre ambas: son magnitudes independientes.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{diferencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fase}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cuerda}}\mathbf{\text{separados}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{50}}\mathbf{\text{cm.}}$

La fase de un punto es el argumento del seno. Para dos puntos distintos en el mismo instante, los términos en $t$ y la fase inicial son comunes y se cancelan al restar:

$\mathrm{\Delta }\phi =(2t+4x_2+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})-(2t+4x_1+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})=k(x_2-x_1)$

$\mathrm{\Delta }\phi =4\cdot \mathrm{0,50}=2\text{ rad}$

Los dos puntos oscilan con un desfase de $2\text{ rad}$. Obsérvese que el desfase solo depende de la distancia entre ellos, no del instante ni de dónde estén situados: es la ventaja de la relación $\mathrm{\Delta }\phi =k\mathrm{\Delta }x=2\pi \mathrm{\Delta }x\mathrm{/}\lambda$. Dos puntos separados una longitud de onda completa tendrían un desfase de $2\pi$, es decir, oscilarían en fase.