Ejercicio resuelto de Ondas · Física · País Vasco · 2021

A3.- La ecuación de una onda es la siguiente: $y=\mathrm{0,6}sin(18\pi \cdot t-2\pi \cdot x)$, en el SI de unidades. Calcula:

a) La velocidad de propagación de la onda
b) La velocidad de vibración del punto $x=3$ m, en el instante $t=8$ s.
c) En ese mismo punto, la aceleración máxima del movimiento de vibración.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}$

Se compara la ecuación del enunciado con la forma general de una onda armónica que avanza en el sentido positivo del eje $OX$:

$y=A\mathrm{sen}(\omega t-kx)\Rightarrow A=\mathrm{0,6}\text{ m };\omega =18\pi \text{ rad/s };k=2\pi \text{ rad/m}$

$T={\displaystyle \frac{2\pi }{\omega }}={\displaystyle \frac{2\pi }{18\pi }}={\displaystyle \frac{1}{9}}\text{ s };\lambda ={\displaystyle \frac{2\pi }{k}}={\displaystyle \frac{2\pi }{2\pi }}=1\text{ m}$

$v={\displaystyle \frac{\lambda }{T}}={\displaystyle \frac{\omega }{k}}={\displaystyle \frac{18\pi }{2\pi }}=9\text{ m/s}$

La onda se propaga a $9\text{ m/s}$ en el sentido positivo del eje $OX$, con una frecuencia de $9\text{ Hz}$ y una longitud de onda de $1\text{ m}$.



Se pide la velocidad con que oscila ese punto del medio, que se obtiene derivando la elongación respecto del tiempo, y no la de propagación del apartado anterior:

$v_y={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}}=\mathrm{0,6}\cdot 18\pi \cos (18\pi t-2\pi x)=\mathrm{10,8}\pi \cos (18\pi t-2\pi x)$

Se sustituyen los valores, con el argumento en radianes:

$18\pi \cdot 8-2\pi \cdot 3=144\pi -6\pi =138\pi \text{ rad}$

Como $138$ es par, el coseno vale $+1$:

$v_y=\mathrm{10,8}\pi =\mathrm{33,93}\text{ m/s}$

En ese instante el punto situado en $x=3\text{ m}$ se mueve a $\mathrm{33,93}\text{ m/s}$ en el sentido positivo del eje $OY$. El valor coincide con la velocidad máxima de vibración, $A\omega$, porque el punto está pasando justo por su posición de equilibrio.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{punto,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{movimiento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vibraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

Derivando otra vez respecto del tiempo:

$a_y={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }{v}_y}{\mathrm{\partial }t}}=-A{\omega }^2\mathrm{sen}(18\pi t-2\pi x)=-{\omega }^{2}y$

Se reconoce la ecuación característica del movimiento armónico simple. El valor máximo se alcanza cuando el seno vale $\pm 1$, es decir, en los extremos de la oscilación:

$a_{max}=A{\omega }^2=\mathrm{0,6}\cdot {\left(18\pi \right)}^2=\mathrm{194,4}{\pi }^2$

$a_{max}=\mathrm{1,92}\cdot {10}^3{\text{m/s}}^2$

La aceleración máxima de vibración es de $\mathrm{1,92}\cdot {10}^3{\text{m/s}}^2$. No se alcanza en el instante del apartado anterior, sino un cuarto de periodo después, cuando el punto llega a la máxima elongación y se detiene para invertir el sentido: velocidad y aceleración están en cuadratura.