Ejercicio resuelto de Ondas · Física · País Vasco · 2021

A.2.- La velocidad de propagación de una onda que se está moviendo en una cuerda en el eje OX es 8 m/s. La ecuación de la onda es: $y=\mathrm{0,03}sin(16\pi t+kx)$ en el sistema SI.
Calcula:

a) La amplitud, la frecuencia y el sentido de propagación de la onda.
b) El valor del número de onda k.
c) La velocidad que tiene el punto de la cuerda situado en x = 0,5 m, en el instante t = 60s

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{amplitud,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sentido}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}$

Se compara la ecuación del enunciado con la forma general de una onda armónica:

$y=A\mathrm{sen}(\omega t\pm kx+{\varphi }_0)$

de donde se leen directamente:

$A=\mathrm{0,03}\text{ m };\omega =16\pi \text{ rad/s };{\varphi }_0=0$

$f={\displaystyle \frac{\omega }{2\pi }}={\displaystyle \frac{16\pi }{2\pi }}=8\text{ Hz}$

En cuanto al sentido de propagación, lo decide el signo relativo de los términos en $t$ y en $x$. Aquí los dos son positivos, de modo que la onda avanza en el sentido negativo del eje $OX$.

La amplitud es de $\mathrm{0,03}\text{ m}$, la frecuencia de $8\text{ Hz}$ —el periodo es, por tanto, de $\mathrm{0,125}\text{ s}$— y la onda se propaga hacia las $x$ decrecientes.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathit{k}\mathbf{\text{.}}$

El número de onda se relaciona con la longitud de onda, y esta con la velocidad de propagación y el periodo:

$\lambda =vT=8\cdot \mathrm{0,125}=1\text{ m}$

$k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}={\displaystyle \frac{2\pi }{1}}=2\pi \text{ rad/m}$

Se llega a lo mismo, más rápido, por la relación $k=\omega \mathrm{/}v=16\pi \mathrm{/}8=2\pi \text{ rad/m}$. El número de onda vale $2\pi \text{ rad/m}$, esto es, $\mathrm{6,28}\text{ rad/m}$, y la ecuación completa de la onda queda:

$y=\mathrm{0,03}\mathrm{sen}(16\pi t+2\pi x)\text{ m}$



Se pide la velocidad de vibración del punto, que se obtiene derivando la elongación respecto del tiempo, y no la de propagación de la onda, que es constante e igual a $8\text{ m/s}$.

$v_y={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}}=\mathrm{0,03}\cdot 16\pi \cos (16\pi t+2\pi x)=\mathrm{0,48}\pi \cos (16\pi t+2\pi x)$

Se sustituyen los valores, con el argumento en radianes:

$16\pi \cdot 60+2\pi \cdot \mathrm{0,5}=960\pi +\pi =961\pi \text{ rad}$

Como $961$ es impar, el coseno vale $-1$:

$v_y=\mathrm{0,48}\pi \cdot (-1)=-\mathrm{1,51}\text{ m/s}$

En ese instante el punto situado en $x=\mathrm{0,5}\text{ m}$ se mueve a $\mathrm{1,51}\text{ m/s}$ en sentido negativo del eje $OY$, es decir, bajando. Su valor coincide en módulo con la velocidad máxima de vibración, $A\omega =\mathrm{0,48}\pi$, porque el punto está pasando justo por su posición de equilibrio.