Ejercicio resuelto de Ondas · Física · País Vasco · 2020

A.3.- Una onda transversal que se propaga por una cuerda muy larga en el sentido positivo del eje de las OX, tiene un periodo de 0,5 s, longitud de onda 160 cm, una amplitud de 80 cm. En el momento inicial, la amplitud de la onda y la fase inicial son nulas en el punto x = 0 m.

a) Escribe la ecuación de onda
b) Calcula la velocidad de propagación
c) Escribe cuál será la velocidad transversal en función del tiempo en la posición x = 160 cm

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Escribe}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda.}}$

Se parte de la forma general de una onda armónica que se propaga en el sentido positivo del eje $OX$, en la que los términos temporal y espacial llevan signos opuestos:

$y(x,t)=A\mathrm{sen}(\omega t-kx+{\varphi }_0)$

Los datos, pasados al Sistema Internacional, son $A=\mathrm{0,8}\text{ m}$, $\lambda =\mathrm{1,6}\text{ m}$ y $T=\mathrm{0,5}\text{ s}$. Con ellos:

$\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}={\displaystyle \frac{2\pi }{\mathrm{0,5}}}=4\pi \text{ rad/s}$

$k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}={\displaystyle \frac{2\pi }{\mathrm{1,6}}}=\mathrm{1,25}\pi \text{ rad/m}$

El enunciado dice además que en el instante inicial la elongación es nula en $x=0$ y que la fase inicial también lo es, de modo que ${\varphi }_0=0$, lo que es coherente: $y(0,0)=A\mathrm{sen}0=0$.

$y(x,t)=\mathrm{0,8}\mathrm{sen}(4\pi t-\mathrm{1,25}\pi x)\text{ m}$

Esa es la ecuación de la onda, con $x$ e $y$ en metros y $t$ en segundos.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

La onda recorre una longitud de onda en cada periodo:

$v={\displaystyle \frac{\lambda }{T}}={\displaystyle \frac{\omega }{k}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,6}}{\mathrm{0,5}}}=\mathrm{3,2}\text{ m/s}$

La perturbación avanza por la cuerda a $\mathrm{3,2}\text{ m/s}$ en el sentido positivo del eje $OX$. Esta velocidad depende solo de las propiedades de la cuerda —su tensión y su densidad lineal—, no del foco que la hace vibrar.



La velocidad transversal, o de vibración, es la derivada de la elongación respecto del tiempo, y no debe confundirse con la de propagación del apartado anterior:

$v_y(x,t)={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}}=\mathrm{0,8}\cdot 4\pi \cos (4\pi t-\mathrm{1,25}\pi x)=\mathrm{3,2}\pi \cos (4\pi t-\mathrm{1,25}\pi x)$

Se particulariza para $x=\mathrm{1,6}\text{ m}$:

$\mathrm{1,25}\pi \cdot \mathrm{1,6}=2\pi \text{ rad}$

$v_y(\mathrm{1,6};t)=\mathrm{3,2}\pi \cos (4\pi t-2\pi )\text{ m/s}$

La velocidad transversal de ese punto es $\mathrm{3,2}\pi \cos (4\pi t-2\pi )\text{ m/s}$, esto es, $\mathrm{10,05}\cos (4\pi t-2\pi )\text{ m/s}$. Como el desfase de $2\pi$ es un número entero de vueltas, ese punto oscila exactamente en fase con el origen, lo que era previsible: está a una distancia de una longitud de onda justa.