Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Galicia · 2022

PREGUNTA 8. Resuelva este problema:
La expresión matemática de una onda armónica transversal que se propaga por una cuerda tensa orientada según el eje x es: $y=\mathrm{0,5}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}[2\pi (3t-x)]$ (unidades en el SI). Determine:

a) los valores de la longitud de onda, velocidad de propagación, velocidad y aceleración máximas de vibración de los puntos de la cuerda;
b) la distancia mínima que separa dos puntos de la cuerda que en un mismo instante vibran desfasados $2\pi$ radianes.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda,}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vibraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cuerda;}}$

Comparamos la ecuación del enunciado con la forma general de una onda armónica que avanza en el sentido positivo del eje $X$:

$y(x,t)=A\text{sen}(\omega t-kx)$

Desarrollando el paréntesis del enunciado:

$y=\mathrm{0,5}\text{sen}[2\pi (3t-x)]=\mathrm{0,5}\text{sen}(6\pi t-2\pi x)$

Identificando términos:

$A=\mathrm{0,5}\text{ m}\omega =6\pi \text{ rad/s}k=2\pi \text{ rad/m}$

La longitud de onda se obtiene del número de ondas:

$\lambda ={\displaystyle \frac{2\pi }{k}}={\displaystyle \frac{2\pi }{2\pi }}=\mathrm{1,0}\text{ m}$

La velocidad de propagación es el cociente entre la frecuencia angular y el número de ondas:

$v={\displaystyle \frac{\omega }{k}}={\displaystyle \frac{6\pi }{2\pi }}=\mathrm{3,0}\text{ m/s}$

Cada punto de la cuerda describe un movimiento armónico simple perpendicular a la dirección de propagación. Su velocidad y su aceleración son la primera y la segunda derivadas de la elongación respecto del tiempo:

$v_y={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}}=A\omega \cos (\omega t-kx)$

$a_y={\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}y}{\mathrm{\partial }{t}^2}}=-A{\omega }^2\text{sen}(\omega t-kx)$

Sus valores máximos se alcanzan cuando el coseno y el seno valen $\pm 1$:

$v_{y,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=A\omega =\mathrm{0,5}\cdot 6\pi =\mathrm{9,42}\text{ m/s}$

$a_{y,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=A{\omega }^2=\mathrm{0,5}(6\pi {)}^2=\mathrm{1,78}\cdot {10}^2{\text{m/s}}^2$

La longitud de onda es $\mathrm{1,0}\text{ m}$, la velocidad de propagación $\mathrm{3,0}\text{ m/s}$, la velocidad máxima de vibración $\mathrm{9,42}\text{ m/s}$ y la aceleración máxima $\mathrm{1,78}\cdot {10}^2{\text{m/s}}^2$. Conviene no confundir la velocidad de propagación de la onda, que es constante y vale 3 m/s, con la velocidad de vibración de los puntos del medio, que oscila entre $-\mathrm{9,42}$ y $+\mathrm{9,42}$ m/s.



En un mismo instante, la diferencia de fase entre dos puntos separados una distancia $\mathrm{\Delta }x$ solo depende del término espacial de la fase:

$\mathrm{\Delta }\phi =k\mathrm{\Delta }x$

Imponemos el desfase pedido:

$2\pi =2\pi \mathrm{\Delta }x$

$\mathrm{\Delta }x=\mathrm{1,0}\text{ m}$

La distancia mínima es $\mathrm{1,0}\text{ m}$, que es exactamente una longitud de onda. Era previsible: dos puntos desfasados $2\pi$ radianes están en fase, y los puntos en fase más próximos de una onda son los que distan una longitud de onda.