Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Galicia · 2020

PREGUNTA 7. Resuelva este problema:
La ecuación $y(x,t)=\mathrm{0,04}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}2\pi (4t-2x)$ m representa una onda que se propaga por una cuerda situada a lo largo del eje x, estando $t$ expresado en segundos. Calcule:

a) la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda;
b) la diferencia de fase, en un instante determinado, entre dos puntos de la cuerda separados 1 m.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{frecuencia,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda;}}$

Comparamos la ecuación del enunciado con la forma general de una onda armónica que avanza en el sentido positivo del eje $X$:

$y(x,t)=A\text{sen}(\omega t-kx)$

Desarrollamos el paréntesis de la ecuación dada:

$y(x,t)=\mathrm{0,04}\text{sen}[2\pi (4t-2x)]=\mathrm{0,04}\text{sen}(8\pi t-4\pi x)$

Identificando términos:

$A=\mathrm{0,04}\text{ m}\omega =8\pi \text{ rad/s}k=4\pi \text{ rad/m}$

La frecuencia se obtiene de la frecuencia angular:

$f={\displaystyle \frac{\omega }{2\pi }}={\displaystyle \frac{8\pi }{2\pi }}=4\text{ Hz}$

La longitud de onda, del número de ondas:

$\lambda ={\displaystyle \frac{2\pi }{k}}={\displaystyle \frac{2\pi }{4\pi }}=\mathrm{0,50}\text{ m}$

Y la velocidad de propagación es el producto de las dos, o el cociente entre $\omega$ y $k$:

$v=\lambda f={\displaystyle \frac{\omega }{k}}={\displaystyle \frac{8\pi }{4\pi }}=\mathrm{2,0}\text{ m/s}$

La frecuencia es de $4\text{ Hz}$, la longitud de onda de $\mathrm{0,50}\text{ m}$ y la velocidad de propagación de $\mathrm{2,0}\text{ m/s}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{diferencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fase,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{instante}}\mathbf{\text{determinado,}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cuerda}}\mathbf{\text{separados}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{m.}}$

En un mismo instante, la diferencia de fase entre dos puntos solo depende del término espacial de la fase:

$\mathrm{\Delta }\phi =k\mathrm{\Delta }x$

$\mathrm{\Delta }\phi =4\pi \cdot 1=4\pi \text{ rad}$

La diferencia de fase es $4\pi \text{ rad}$, es decir, $\mathrm{12,6}\text{ rad}$. Al ser un múltiplo par de $\pi$, los dos puntos vibran en fase: en cada instante tienen la misma elongación y la misma velocidad, y son indistinguibles en cuanto a su estado de vibración.

Era previsible sin calcular nada: la separación de 1 m equivale a

${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }x}{\lambda }}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,50}}}=2$

exactamente dos longitudes de onda, y los puntos separados un número entero de longitudes de onda están siempre en fase.