Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Comunidad de Madrid · 2024

El campanario de una iglesia medieval, situado a 35 m de altura, consta de 4 campanas. Cada una de ellas emite 10 mW de potencia sonora tras ser golpeada. Por otro lado, el límite de contaminación acústica en ese municipio está establecido en 55 dB.

a) Determine el nivel de intensidad sonora que percibe una persona parada al pie de la torre del campanario cuando se toca una sola campana.
b) ¿Podrán tocar las cuatro campanas a la vez si no se quiere sobrepasar el límite de contaminación acústica y la población está situada a más de 100 metros de la iglesia?

Dato: Intensidad sonora umbral, $I_0={10}^{-12}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{sonora}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{percibe}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{parada}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{pie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{torre}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{campanario}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{toca}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{sola}}\mathbf{\text{campana.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










Una campana es un foco puntual: la potencia se reparte sobre frentes de onda esféricos, así que la intensidad a una distancia $r$ es:

$I={\displaystyle \frac{P}{4\pi r^2}}$

Al pie de la torre esa distancia es la altura del campanario, $35\text{ m}$.





$I={\displaystyle \frac{10\cdot {10}^{-3}}{4\pi \cdot {35}^2}}=\mathrm{6,50}\cdot {10}^{-7}{\text{W/m}}^2$

El nivel de intensidad sonora se define como:

$\beta =10\log {\displaystyle \frac{I}{I_0}}=10\log {\displaystyle \frac{\mathrm{6,50}\cdot {10}^{-7}}{{10}^{-12}}}=\mathrm{58,1}\text{ dB}$

Al pie de la torre se perciben $\mathrm{58,1}\text{ dB}$ cuando suena una sola campana.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Podr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{tocar}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{cuatro}}\mathbf{\text{campanas}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{vez}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{quiere}}\mathbf{\text{sobrepasar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{mite}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{contaminaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{ac}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{stica}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{poblaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{situada}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{100}}\mathbf{\text{metros}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{iglesia?}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Las intensidades se suman, así que cuatro campanas iguales entregan cuatro veces la potencia de una. Se estudia el caso más desfavorable, el del oyente más próximo, que está a $100\text{ m}$ de la iglesia y $35\text{ m}$ por debajo de las campanas:

$d=\sqrt{{100}^2+{35}^2}=106\text{ m}$

$I_{\text{total}}={\displaystyle \frac{4P}{4\pi d^2}}={\displaystyle \frac{4\cdot 10\cdot {10}^{-3}}{4\pi \cdot {106}^2}}=\mathrm{2,84}\cdot {10}^{-7}{\text{W/m}}^2$

$\beta =10\log {\displaystyle \frac{\mathrm{2,84}\cdot {10}^{-7}}{{10}^{-12}}}=\mathrm{54,5}\text{ dB}$

Como $\mathrm{54,5}\text{ dB}<55\text{ dB}$, sí pueden tocar las cuatro campanas a la vez: ni siquiera el vecino más próximo llega al límite de contaminación acústica, y los que están más lejos reciben todavía menos.