Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Galicia · 2020

PREGUNTA 3. Responda indicando y justificando la opción correcta:

3.1. El silbato de una locomotora emite un sonido de 435 Hz de frecuencia. Si la locomotora se mueve acercándose a un observador en reposo, la frecuencia percibida por el observador es: a) 435 Hz; b) mayor que 435 Hz; c) menor que 435 Hz.
3.2. Una muestra de una sustancia radiactiva contenía hace 10 años el doble de núcleos que en el instante actual; por lo tanto, el número de núcleos que había hace 30 años respecto al momento actual era: a) seis veces mayor; b) tres veces mayor; c) ocho veces mayor.

$\mathbf{\text{3.1.}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{silbato}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{locomotora}}\mathbf{\text{emite}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{sonido}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{435}}\mathbf{\text{Hz}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{frecuencia.}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{locomotora}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{mueve}}\mathbf{\text{acerc}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ndose}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{observador}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{reposo,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{percibida}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{observador}}\mathbf{\text{es:}}$

La respuesta correcta es la b): mayor que 435 Hz.

Es el efecto Doppler con foco en movimiento y observador en reposo. La frecuencia percibida es:

$f^{\mathrm{\prime }}=f{\displaystyle \frac{v}{v\mp v_F}}$

donde $v$ es la velocidad del sonido y $v_F$ la del foco, con el signo $-$ en el denominador si el foco se acerca al observador.

Al acercarse, cada frente de onda que emite la locomotora parte de un punto más próximo al observador que el anterior, así que los frentes le llegan más apretados: la longitud de onda percibida es menor y, como la velocidad del sonido en el aire no cambia, la frecuencia es mayor.

$f^{\mathrm{\prime }}=f{\displaystyle \frac{v}{v-v_F}}>f$

El observador percibe un sonido más agudo que los 435 Hz emitidos. Cuando la locomotora pase de largo y se aleje, el signo del denominador cambia y el sonido se percibirá más grave: es la caída brusca de tono que se oye al paso de un vehículo con la sirena encendida.

$\mathbf{\text{3.2.}}\mathbf{\text{Una}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{sustancia}}\mathbf{\text{radiactiva}}\mathbf{\text{conten}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{hace}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{doble}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{cleos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{instante}}\mathbf{\text{actual;}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{tanto,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{cleos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hab}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{hace}}\mathbf{\text{30}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{momento}}\mathbf{\text{actual}}\mathbf{\text{era:}}$

La respuesta correcta es la c): ocho veces mayor.

Que en 10 años el número de núcleos se haya reducido a la mitad significa, por definición, que el período de semidesintegración es de 10 años:

$T_{1\mathrm{/}2}=10\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}$

En cada período el número de núcleos se divide por dos, así que retrocediendo en el tiempo se multiplica por dos en cada período. Hace 30 años han transcurrido tres períodos:

$n={\displaystyle \frac{30}{10}}=3$

${\displaystyle \frac{N(-30)}{N(0)}}=2^3=8$

Hace 30 años había ocho veces más núcleos que ahora. El error habitual es razonar linealmente y contestar «seis veces» —la opción a)—, multiplicando por dos el número de períodos: la desintegración radiactiva es exponencial, no lineal.

Se comprueba con la ley de desintegración:

$\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{10}}=\mathrm{0,0693}{\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}}^{-1}\Rightarrow {\displaystyle \frac{N(-30)}{N(0)}}=e^{\lambda \cdot 30}=e^{\mathrm{2,079}}=8$