Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Comunidad de Madrid · 2024

Dos focos sonoros puntuales $F_1$ y $F_2$ están situados en las posiciones $(0,3)\mathrm{m}$ y $(4,0)\mathrm{m}$ del plano $xy$. Cuando emiten por separado, el nivel de intensidad sonora debido al foco 1 a una distancia de $2\mathrm{m}$ de este es ${\beta }_1=55\mathrm{d}\mathrm{B}$, mientras que el nivel de intensidad sonora debido al foco 2 es ${\beta }_2=65\mathrm{d}\mathrm{B}$ a $2\mathrm{m}$ de este. Halle:

a) La intensidad y el nivel de intensidad sonora en el origen cuando ambos focos emiten simultáneamente.

b) La distancia al foco $F_1$ del punto situado sobre el segmento que une ambos focos en el que las intensidades generadas por ambos focos son iguales.

Dato: Intensidad umbral, $I_0=1\cdot {10}^{-12}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{sonora}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{origen}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{ambos}}\mathbf{\text{focos}}\mathbf{\text{emiten}}\mathbf{\text{simult}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{neamente.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










Se invierte primero la definición de nivel de intensidad sonora para conocer la intensidad de cada foco a $2\text{ m}$:

$\beta =10\log {\displaystyle \frac{I}{I_0}}\Rightarrow I=I_0{10}^{\beta \mathrm{/}10}$





$I_1(2)={10}^{-12}\cdot {10}^{\mathrm{5,5}}=\mathrm{3,16}\cdot {10}^{-7}{\text{W/m}}^2$

$I_2(2)={10}^{-12}\cdot {10}^{\mathrm{6,5}}=\mathrm{3,16}\cdot {10}^{-6}{\text{W/m}}^2$

Como los focos son puntuales, la potencia se reparte sobre esferas y se recupera de la intensidad:

$P=4\pi r^{2}I\Rightarrow P_1=\mathrm{1,59}\cdot {10}^{-5}\text{ W}{P}_2=\mathrm{1,59}\cdot {10}^{-4}\text{ W}$

El origen dista $3\text{ m}$ del foco $F_1$ y $4\text{ m}$ del foco $F_2$:

$I_1(3)={\displaystyle \frac{P_1}{4\pi \cdot 3^2}}=\mathrm{1,41}\cdot {10}^{-7}{\text{W/m}}^2$

$I_2(4)={\displaystyle \frac{P_2}{4\pi \cdot 4^2}}=\mathrm{7,91}\cdot {10}^{-7}{\text{W/m}}^2$

Las intensidades se suman:

$I=I_1(3)+I_2(4)=\mathrm{9,31}\cdot {10}^{-7}{\text{W/m}}^2$

$\beta =10\log {\displaystyle \frac{\mathrm{9,31}\cdot {10}^{-7}}{{10}^{-12}}}=\mathrm{59,7}\text{ dB}$

En el origen la intensidad total es $\mathrm{9,31}\cdot {10}^{-7}{\text{W/m}}^2$ y el nivel de intensidad sonora, $\mathrm{59,7}\text{ dB}$.



La distancia entre los focos es:

$d=\sqrt{4^2+3^2}=5\text{ m}$

Si el punto buscado dista $x$ de $F_1$, dista $5-x$ de $F_2$. Se igualan las intensidades:

${\displaystyle \frac{P_1}{4\pi x^2}}={\displaystyle \frac{P_2}{4\pi (5-x{)}^2}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\mathrm{1,59}\cdot {10}^{-5}}{x^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,59}\cdot {10}^{-4}}{(5-x{)}^2}}$

$(5-x{)}^2=10x^2\Rightarrow 9x^2+10x-25=0$

$x={\displaystyle \frac{-10\pm \sqrt{1000}}{18}}\Rightarrow x=\mathrm{1,2}\text{ m}\text{o}x=-\mathrm{2,31}\text{ m}$

Se descarta la solución negativa por no pertenecer al segmento que une los focos. El punto en el que las dos intensidades coinciden está a $\mathrm{1,2}\text{ m}$ de $F_1$, mucho más cerca de él por ser el foco menos potente.