Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Comunidad de Madrid · 2024

En la figura se representa la elongación de una onda transversal en el instante $t=0$ en función de la posición $x$. La onda se propaga en el sentido negativo del eje $x$. Sabiendo que el tiempo que tarda el punto situado en $x=0$ desde que sale de su posición inicial ($t=0$) hasta que vuelve a la misma es de $\mathrm{0,5}\mathrm{s}$, determine:



a) La longitud de onda y la velocidad de propagación.

b) La expresión matemática de la onda.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










La longitud de onda se lee directamente en la instantánea como la distancia entre dos crestas consecutivas:

$\lambda =\mathrm{1,5}\text{ m}$

El tiempo que tarda un punto en volver a su posición inicial es el periodo:

$T=\mathrm{0,5}\text{ s}$





$v={\displaystyle \frac{\lambda }{T}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{\mathrm{0,5}}}=3\text{ m/s}$

La longitud de onda es $\mathrm{1,5}\text{ m}$ y la onda se propaga a $3\text{ m/s}$ en el sentido negativo del eje $X$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{matem}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Como la onda avanza en el sentido negativo del eje $X$, su ecuación lleva el signo más entre los dos términos de la fase:

$y(x,t)=A\text{sen}(\omega t+kx+\phi )$

De la gráfica se lee la amplitud, y del periodo y la longitud de onda salen la pulsación y el número de onda:

$A=3\text{ cm}$

$\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}={\displaystyle \frac{2\pi }{\mathrm{0,5}}}=4\pi \text{ rad/s}$

$k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}={\displaystyle \frac{2\pi }{\mathrm{1,5}}}={\displaystyle \frac{4\pi }{3}}\text{ rad/m}$

Para la fase inicial se impone la condición que muestra la instantánea: en $x=0$ y $t=0$ la elongación es máxima.

$y(0,0)=A\text{sen}\phi =A\Rightarrow \text{sen}\phi =1\Rightarrow \phi ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{ rad}$

La expresión de la onda es:

$y(x,t)=3\text{sen}(4\pi t+{\displaystyle \frac{4\pi }{3}}x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\text{ cm}$

con $x$ en metros y $t$ en segundos. Escrita con el coseno, la fase inicial desaparece y queda la forma equivalente $y(x,t)=3\cos (4\pi t+\frac{4\pi }{3}x)\text{ cm}$.