Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Comunidad de Madrid · 2023

Un observador que se encuentra a $3\mathrm{m}$ de una fuente puntual sonora que emite en todas direcciones mide un nivel de intensidad sonora de $53\mathrm{d}\mathrm{B}$. Halle:
a) La intensidad sonora recibida por el observador y la potencia con la que emite la fuente puntual.
b) La distancia a la que debe situarse el observador para que el nivel de intensidad sonora percibido se reduzca a una cuarta parte.
Dato: Intensidad umbral, $I_0={10}^{-12}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{B.2}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos).}}\mathbf{\text{Un}}\mathbf{\text{observador}}\mathbf{\text{situado}}\mathbf{\text{a}}3\mathrm{m}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{fuente}}\mathbf{\text{puntual}}\mathbf{\text{sonora}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{emite}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{todas}}\mathbf{\text{direcciones}}\mathbf{\text{mide}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{sonora}}\mathbf{\text{de}}53\mathrm{d}\mathrm{B}\mathrm{.}\mathbf{\text{Dato:}}{I}_0={10}^{-12}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}\mathrm{.}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{sonora}}\mathbf{\text{recibida}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{observador}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{potencia}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{emite}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuente}}\mathbf{\text{puntual.}}$

El nivel de intensidad sonora (sensación sonora) se relaciona con la intensidad mediante la definición de Bel:

$\beta =10\log \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{I}{I_0}}\right)$

Despejamos la intensidad $I$ recibida por el observador:

${\displaystyle \frac{I}{I_0}}={10}^{\beta \mathrm{/}10}\Rightarrow I=I_0\cdot {10}^{\beta \mathrm{/}10}$

Sustituyendo los valores (${\beta }_1=53\mathrm{d}\mathrm{B}$ a la distancia $r_1=3\mathrm{m}$):

$I={10}^{-12}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}\cdot {10}^{53\mathrm{/}10}={10}^{-12}\cdot {10}^{\mathrm{5,3}}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$

$I={10}^{-\mathrm{6,7}}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}=\mathrm{2,0}\cdot {10}^{-7}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$

$\boxed{{\displaystyle I\approx \mathrm{2,0}\cdot {10}^{-7}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}}}$

Como la fuente es puntual y emite por igual en todas las direcciones, la potencia emitida se reparte uniformemente sobre una superficie esférica de radio $r$. La intensidad es la potencia por unidad de superficie:

$I={\displaystyle \frac{P}{S}}={\displaystyle \frac{P}{4\pi r^2}}$

Despejando la potencia:

$P=I\cdot 4\pi r_1^2$

Sustituyendo los valores:

$P=\mathrm{2,0}\cdot {10}^{-7}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}\cdot 4\pi (3\mathrm{m}{)}^2=\mathrm{2,0}\cdot {10}^{-7}\cdot 4\pi \cdot 9\mathrm{W}$

$\boxed{{\displaystyle P\approx \mathrm{2,26}\cdot {10}^{-5}\mathrm{W}}}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{situarse}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{observador}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{sonora}}\mathbf{\text{percibido}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{reduzca}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{cuarta}}\mathbf{\text{parte.}}$

Que el nivel de intensidad sonora (en decibelios) se reduzca a una cuarta parte significa:

${\beta }_2={\displaystyle \frac{{\beta }_1}{4}}={\displaystyle \frac{53\mathrm{d}\mathrm{B}}{4}}=\mathrm{13,25}\mathrm{d}\mathrm{B}$

Calculamos la nueva intensidad $I_2$ correspondiente a ese nivel:

$I_2=I_0\cdot {10}^{{\beta }_2\mathrm{/}10}={10}^{-12}\cdot {10}^{\mathrm{1,325}}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}=\mathrm{2,11}\cdot {10}^{-11}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$

Como la potencia de la fuente es constante, la intensidad decrece con el cuadrado de la distancia. Igualando la potencia en las dos posiciones:

$P=I_1\cdot 4\pi r_1^2=I_2\cdot 4\pi r_2^2$

de donde se obtiene la relación de la inversa del cuadrado:

${\displaystyle \frac{I_1}{I_2}}={\displaystyle \frac{r_2^2}{r_1^2}}\Rightarrow r_2=r_1\sqrt{{\displaystyle \frac{I_1}{I_2}}}$

Sustituyendo los valores:

$r_2=3\mathrm{m}\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{2,0}\cdot {10}^{-7}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}}{\mathrm{2,11}\cdot {10}^{-11}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}}}}=3\mathrm{m}\cdot \sqrt{\mathrm{9,44}\cdot {10}^3}$

$r_2=3\mathrm{m}\cdot \mathrm{97,2}\approx \mathrm{291,5}\mathrm{m}$

$\boxed{{\displaystyle r_2\approx \mathrm{291,5}\mathrm{m}}}$

Por tanto, para reducir el nivel sonoro a la cuarta parte el observador debe alejarse casi a $300\mathrm{m}$ de la fuente: como el nivel está en escala logarítmica, una pequeña reducción del valor en decibelios exige un gran aumento de la distancia.

La decadencia del nivel sonoro con la distancia se representa en la figura: