Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Comunidad de Madrid · 2023

Dos focos sonoros puntuales $F_1$ y $F_2$ se encuentran respectivamente situados en los puntos $(-6,0)\mathrm{m}$ y $(6,0)\mathrm{m}$ del plano xy. Se sabe que en el punto $(2,0)\mathrm{m}$ la intensidad debida a cada foco vale lo mismo, y que en el punto $(0,2)\mathrm{m}$ el nivel de intensidad sonora es de $80\mathrm{d}\mathrm{B}$. Determine:

a) El cociente entre la potencia del foco $F_1$ y la del foco $F_2$.

b) La potencia del foco $F_1$ y la intensidad que se registraría en el punto $(0,8)\mathrm{m}$ si solamente se recibiesen ondas del foco $F_1$.

Dato: Intensidad umbral, $I_0={10}^{-12}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$.

Partimos de que un foco sonoro puntual emite ondas esféricas. Si el foco tiene una potencia $P$ (energía emitida por unidad de tiempo) y el medio no absorbe energía, esa potencia se reparte de forma uniforme sobre la superficie de una esfera de radio $r$. La intensidad a una distancia $r$ del foco es, por tanto,

$I={\displaystyle \frac{P}{4\pi r^2}}$

ya que $4\pi r^2$ es el área de la esfera. Esta relación (ley del inverso del cuadrado) es la herramienta básica de todo el problema.



Primero calculamos las distancias desde el punto $(2,0)\mathrm{m}$ a cada foco. Como ambos focos están sobre el eje $x$, basta restar coordenadas:

$r_1=\mathrm{\mid }2-(-6)\mathrm{\mid }=8\mathrm{m}$

$r_2=\mathrm{\mid }6-2\mathrm{\mid }=4\mathrm{m}$

El enunciado indica que en ese punto la intensidad debida a cada foco es la misma, es decir, $I_1=I_2$. Aplicando la ley del inverso del cuadrado a cada foco e igualando:

${\displaystyle \frac{P_1}{4\pi r_1^2}}={\displaystyle \frac{P_2}{4\pi r_2^2}}$

El factor $4\pi$ se simplifica en ambos miembros. Despejando el cociente de potencias:

${\displaystyle \frac{P_1}{P_2}}={\displaystyle \frac{r_1^2}{r_2^2}}={\left({\displaystyle \frac{r_1}{r_2}}\right)}^2$

Sustituyendo los valores:

${\displaystyle \frac{P_1}{P_2}}={\left({\displaystyle \frac{8\mathrm{m}}{4\mathrm{m}}}\right)}^2=2^2=4$

El resultado es coherente: $F_1$ está al doble de distancia que $F_2$ del punto considerado, de modo que para producir allí la misma intensidad necesita emitir cuatro veces más potencia. Por tanto,

$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{P_1}{P_2}}=4}}$



Empezamos por traducir el nivel de intensidad sonora de $(0,2)\mathrm{m}$ a una intensidad. El nivel se define mediante una escala logarítmica respecto a la intensidad umbral $I_0$:

$\beta =10\log \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{I}{I_0}}\right)(\mathrm{d}\mathrm{B})$

Despejamos la intensidad total en ese punto:

$I=I_0\cdot {10}^{\beta \mathrm{/}10}$

Sustituyendo los valores ($\beta =80\mathrm{d}\mathrm{B}$, $I_0={10}^{-12}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$):

$I={10}^{-12}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}\cdot {10}^{80\mathrm{/}10}={10}^{-12}\cdot {10}^8\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}={10}^{-4}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$

Esta es la intensidad total en $(0,2)\mathrm{m}$, suma de las contribuciones de ambos focos (las intensidades, por ser magnitudes de energía, se suman):

$I=I_1+I_2={\displaystyle \frac{P_1}{4\pi r_1^2}}+{\displaystyle \frac{P_2}{4\pi r_2^2}}$

Calculamos las distancias del punto $(0,2)\mathrm{m}$ a cada foco. Por simetría (el punto está sobre el eje $y$ y los focos son simétricos respecto a él) ambas distancias coinciden:

$r_1=r_2=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}\mathrm{m}\Rightarrow r_1^2=r_2^2=40{\mathrm{m}}^2$

Como las dos distancias son iguales, podemos sacar factor común:

$I={\displaystyle \frac{P_1+P_2}{4\pi \cdot 40}}$

Ahora usamos el resultado del apartado a), $P_1=4P_2$, es decir $P_2={\displaystyle \frac{P_1}{4}}$. Entonces:

$P_1+P_2=P_1+{\displaystyle \frac{P_1}{4}}={\displaystyle \frac{5}{4}}{P}_1$

Sustituyendo en la expresión de la intensidad:

$I={\displaystyle \frac{\frac{5}{4}{P}_1}{4\pi \cdot 40}}$

Despejando la potencia del foco $F_1$:

$P_1={\displaystyle \frac{4}{5}}(I\cdot 4\pi \cdot 40)$

Sustituyendo los valores:

$P_1={\displaystyle \frac{4}{5}}\cdot {10}^{-4}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}\cdot 4\pi \cdot 40{\mathrm{m}}^2=128\pi \cdot {10}^{-4}\mathrm{W}$

$\boxed{{\displaystyle P_1=128\pi \cdot {10}^{-4}\mathrm{W}\approx \mathrm{4,0}\cdot {10}^{-2}\mathrm{W}}}$

A modo de comprobación, la potencia del segundo foco sería $P_2={\displaystyle \frac{P_1}{4}}\approx \mathrm{1,0}\cdot {10}^{-2}\mathrm{W}$.

Para la intensidad en $(0,8)\mathrm{m}$ debida solo a $F_1$, calculamos primero la distancia de ese punto al foco $F_1=(-6,0)\mathrm{m}$:

$r_1=\sqrt{(0-(-6){)}^2+(8-0{)}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\mathrm{m}$

Aplicamos de nuevo la ley del inverso del cuadrado con la potencia ya conocida:

$I_1={\displaystyle \frac{P_1}{4\pi r_1^2}}$

Sustituyendo los valores:

$I_1={\displaystyle \frac{128\pi \cdot {10}^{-4}\mathrm{W}}{4\pi \cdot (10\mathrm{m}{)}^2}}={\displaystyle \frac{128\pi \cdot {10}^{-4}}{400\pi }}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}={\displaystyle \frac{128}{400}}\cdot {10}^{-4}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$

Por tanto,

$\boxed{{\displaystyle I_1=\mathrm{3,2}\cdot {10}^{-5}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}}}$

Este valor es razonable: el punto $(0,8)\mathrm{m}$ está más alejado de $F_1$ que el punto $(0,2)\mathrm{m}$, de modo que la intensidad recibida es menor, como exige la disminución con el cuadrado de la distancia.