Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Comunidad de Madrid · 2021

A.2 (2 puntos). Al explotar, un cohete de fuegos artificiales genera una onda sonora esférica con una potencia sonora de $20\mathrm{m}\mathrm{W}$. Un espectador oye la explosión $\mathrm{1,5}\mathrm{s}$ después de verlo explotar. Calcule:

a) La distancia a la que está situado el espectador respecto al cohete en el momento de la explosión, así como la intensidad del sonido en la posición del espectador.

b) El nivel de intensidad sonora percibida si explotan 10 cohetes simultáneamente, y el espectador los oye todos al unísono $\mathrm{1,5}\mathrm{s}$ después de explotar.

Datos: Velocidad del sonido en el aire, $v_s=340\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$; Valor umbral de la intensidad acústica, $I_0={10}^{-12}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{A.2}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos).}}\mathbf{\text{Al}}\mathbf{\text{explotar,}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{cohete}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fuegos}}\mathbf{\text{artificiales}}\mathbf{\text{genera}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{sonora}}\mathbf{\text{esf}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rica}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{potencia}}\mathbf{\text{sonora}}\mathbf{\text{de}}20\mathrm{m}\mathrm{W}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{Un}}\mathbf{\text{espectador}}\mathbf{\text{oye}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{explosi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathrm{1,5}\mathrm{s}\mathbf{\text{despu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{verlo}}\mathbf{\text{explotar.}}$

La luz del estallido llega al espectador de forma prácticamente instantánea (la velocidad de la luz es enorme comparada con la del sonido), de modo que el instante en que se ve la explosión coincide con el instante de la explosión. El sonido, en cambio, viaja a $340\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ y tarda un tiempo en recorrer la distancia que separa al cohete del espectador. Ese retardo de $\mathrm{1,5}\mathrm{s}$ entre ver y oír es lo que nos permite medir la distancia.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{situado}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{espectador}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{cohete}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{momento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{explosi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sonido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{espectador.}}$

El sonido se propaga con velocidad constante, por lo que recorre la distancia $d$ en un movimiento rectilíneo uniforme. La distancia recorrida es:

$d=v_s\cdot t$

Sustituyendo los valores con sus unidades:

$d=340\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}\cdot \mathrm{1,5}\mathrm{s}=510\mathrm{m}$

$\boxed{{\displaystyle d=510\mathrm{m}}}$

Para la intensidad, recordemos que la onda sonora es esférica: la energía emitida por el cohete se reparte por igual en todas las direcciones del espacio. La intensidad es la potencia que atraviesa la unidad de superficie, y a una distancia $d$ del foco esa superficie es la de una esfera de radio $d$, es decir, $S=4\pi d^2$. Por tanto:

$I={\displaystyle \frac{P}{4\pi d^2}}$

La potencia hay que expresarla en el SI: $P=20\mathrm{m}\mathrm{W}=20\cdot {10}^{-3}\mathrm{W}=\mathrm{0,020}\mathrm{W}$. Sustituyendo:

$I={\displaystyle \frac{20\cdot {10}^{-3}\mathrm{W}}{4\pi \cdot (510\mathrm{m}{)}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,020}}{4\pi \cdot 260100}}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$

Operando:

$I={\displaystyle \frac{\mathrm{0,020}}{\mathrm{3,268}\cdot {10}^6}}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}=\mathrm{6,12}\cdot {10}^{-9}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$

$\boxed{{\displaystyle I=\mathrm{6,12}\cdot {10}^{-9}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}}}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{sonora}}\mathbf{\text{percibida}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{explotan}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{cohetes}}\mathbf{\text{simult}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{neamente,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{espectador}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{oye}}\mathbf{\text{todos}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{un}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{sono}}\mathrm{1,5}\mathrm{s}\mathbf{\text{despu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{explotar}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto).}}$

Si explotan $10$ cohetes a la vez y todos a la misma distancia del espectador, las potencias sonoras se suman, ya que la potencia total emitida es la suma de las potencias individuales:

$P_{\text{total}}=10\cdot P=10\cdot 20\mathrm{m}\mathrm{W}=200\mathrm{m}\mathrm{W}=\mathrm{0,200}\mathrm{W}$

La distancia es la misma que en el apartado anterior, $d=510\mathrm{m}$, porque el retardo sigue siendo $\mathrm{1,5}\mathrm{s}$. La intensidad total en la posición del espectador es, por tanto, diez veces la de un solo cohete:

$I_{\text{total}}={\displaystyle \frac{P_{\text{total}}}{4\pi d^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,200}\mathrm{W}}{4\pi \cdot (510\mathrm{m}{)}^2}}=\mathrm{6,12}\cdot {10}^{-8}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$

El nivel de intensidad sonora (o sonoridad) se define mediante la escala logarítmica:

$\beta =10\cdot \log \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{I_{\text{total}}}{I_0}}\right)$

donde $I_0={10}^{-12}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$ es el umbral de audición. Sustituyendo:

$\beta =10\cdot \log \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{\mathrm{6,12}\cdot {10}^{-8}}{{10}^{-12}}}\right)\mathrm{d}\mathrm{B}=10\cdot \log \text{\hspace{0.17em}⁣}(\mathrm{6,12}\cdot {10}^4)\mathrm{d}\mathrm{B}$

Como $\log (\mathrm{6,12}\cdot {10}^4)=\mathrm{4,787}$:

$\beta =10\cdot \mathrm{4,787}\mathrm{d}\mathrm{B}=\mathrm{47,87}\mathrm{d}\mathrm{B}$

$\boxed{{\displaystyle \beta =\mathrm{47,87}\mathrm{d}\mathrm{B}}}$

Obsérvese que multiplicar la potencia por $10$ no multiplica por $10$ la sonoridad percibida: por la naturaleza logarítmica del decibelio, diez fuentes iguales solo aumentan el nivel en $10\mathrm{d}\mathrm{B}$ respecto a una sola (el nivel de un único cohete sería ${\beta }_1=10\cdot \log \text{\hspace{0.17em}⁣}(\mathrm{6,12}\cdot {10}^{-9}\mathrm{/}{10}^{-12})=\mathrm{37,87}\mathrm{d}\mathrm{B}$).