Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Comunidad de Madrid · 2022

Una onda armónica transversal se propaga en el sentido positivo del eje $x$. En la figura se tiene una gráfica de la elongación de la onda para $t=0$ y para $x=0$. A partir de dicha información determine:
a) La expresión matemática de la onda.
b) La velocidad de propagación de la onda y la velocidad de oscilación del punto $x=3\mathrm{c}\mathrm{m}$ en $t=1\mathrm{s}$.

Una onda armónica transversal que viaja en el sentido positivo del eje $x$ se describe mediante una elongación de la forma

$y(x,t)=A\cos (\omega t-kx+\phi )$

donde $A$ es la amplitud, $\omega$ la frecuencia angular, $k$ el número de onda y $\phi$ la fase inicial. Toda la información que necesitamos está contenida en las dos gráficas: una nos da el perfil espacial de la onda en el instante $t=0$ y la otra el movimiento temporal del punto situado en $x=0$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{matem}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Leemos los datos de cada gráfica.

En ambas gráficas la elongación oscila entre $+3\mathrm{c}\mathrm{m}$ y $-3\mathrm{c}\mathrm{m}$, de modo que la amplitud es

$A=3\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{0,03}\mathrm{m}$

De la gráfica $y\text{-}x$ (instante $t=0$) obtenemos la longitud de onda: el perfil parte de un mínimo en $x=0$, alcanza un máximo en $x=2\mathrm{c}\mathrm{m}$ y vuelve a un mínimo en $x=4\mathrm{c}\mathrm{m}$, completando una oscilación espacial. Por tanto

$\lambda =4\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{0,04}\mathrm{m}$

El número de onda es

$k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}={\displaystyle \frac{2\pi }{4\mathrm{c}\mathrm{m}}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}=50\pi {\mathrm{m}}^{-1}$

De la gráfica $y\text{-}t$ (punto $x=0$) obtenemos el periodo: el punto parte de un mínimo en $t=0$, llega al máximo en $t=\mathrm{0,5}\mathrm{s}$ y vuelve al mínimo en $t=1\mathrm{s}$, completando una oscilación temporal. Por tanto

$T=1\mathrm{s}$

La frecuencia angular vale

$\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}={\displaystyle \frac{2\pi }{1\mathrm{s}}}=2\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{/}\mathrm{s}$

Solo falta la fase inicial $\phi$. La determinamos imponiendo la condición que leemos en cualquiera de las dos gráficas en el origen: en $x=0$ y $t=0$ la elongación es un mínimo, $y=-3\mathrm{c}\mathrm{m}$. Sustituyendo en la expresión general:

$y(0,0)=A\cos (\phi )=-A\Rightarrow \cos (\phi )=-1\Rightarrow \phi =\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$

Reuniendo todos los parámetros (con $x$ e $y$ en centímetros y $t$ en segundos), la expresión de la onda es

$\boxed{{\displaystyle y(x,t)=3\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}(2\pi t-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}x+\pi )\mathrm{c}\mathrm{m}}}$

que también puede escribirse en función del seno, usando $\cos \theta =\mathrm{sen}\text{\hspace{0.17em}⁣}(\theta +\frac{\pi }{2})$, como

$y(x,t)=3\mathrm{sen}\text{\hspace{0.17em}⁣}(2\pi t-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}x+{\displaystyle \frac{3\pi }{2}})\mathrm{c}\mathrm{m}$

El signo $-$ delante de $kx$ confirma que la onda se propaga en el sentido positivo del eje $x$, tal como indica el enunciado.



La velocidad de propagación (velocidad de fase) es la rapidez con que avanza la perturbación por el medio. Se obtiene como cociente entre la longitud de onda y el periodo o, equivalentemente, entre la frecuencia angular y el número de onda:

$v={\displaystyle \frac{\lambda }{T}}={\displaystyle \frac{\omega }{k}}$

Sustituyendo los valores:

$v={\displaystyle \frac{4\mathrm{c}\mathrm{m}}{1\mathrm{s}}}={\displaystyle \frac{2\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{/}\mathrm{s}}{\frac{\pi }{2}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}}}=4\mathrm{c}\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}$

$\boxed{{\displaystyle v=4\mathrm{c}\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}=\mathrm{0,04}\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}}}$

Conviene no confundir esta velocidad, que es constante y propia de la onda, con la velocidad de oscilación, que es la velocidad con la que se mueve transversalmente cada partícula del medio en torno a su posición de equilibrio. Esta última se obtiene derivando la elongación respecto del tiempo, manteniendo $x$ fijo:

$v_{\text{osc}}(x,t)={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}}=-A\omega \mathrm{sen}\text{\hspace{0.17em}⁣}(\omega t-kx+\phi )$

Sustituyendo $A=3\mathrm{c}\mathrm{m}$ y $\omega =2\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{/}\mathrm{s}$:

$v_{\text{osc}}(x,t)=-3\cdot 2\pi \mathrm{sen}\text{\hspace{0.17em}⁣}(2\pi t-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}x+\pi )=-6\pi \mathrm{sen}\text{\hspace{0.17em}⁣}(2\pi t-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}x+\pi )\mathrm{c}\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}$

Evaluamos en el punto $x=3\mathrm{c}\mathrm{m}$ y en el instante $t=1\mathrm{s}$. Calculamos primero la fase:

$2\pi \cdot 1-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\cdot 3+\pi =2\pi -{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}+\pi ={\displaystyle \frac{3\pi }{2}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$

Como $\mathrm{sen}\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{3\pi }{2}}\right)=-1$, resulta

$v_{\text{osc}}=-6\pi \cdot (-1)=6\pi \mathrm{c}\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}$

$\boxed{{\displaystyle v_{\text{osc}}=6\pi \mathrm{c}\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}\approx \mathrm{18,85}\mathrm{c}\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}\approx \mathrm{0,19}\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}}}$

El signo positivo indica que, en ese instante, dicho punto se mueve en el sentido positivo del eje $y$, es decir, hacia arriba.