Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Comunidad de Madrid · 2022

En el centro de una pista de baile circular de una discoteca el nivel de intensidad sonora es de $100\mathrm{d}\mathrm{B}$. La discoteca dispone de cuatro altavoces idénticos dispuestos alrededor de la pista de baile, todos ellos a la misma distancia del centro de la pista, $d=10\mathrm{m}$.
a) Determine la potencia de cada uno de los altavoces de la discoteca.
b) Si el oído humano tiene una superficie de $2\cdot {10}^{-4}{\mathrm{m}}^2$, y una persona permanece 5 horas bailando en el centro de la pista, ¿cuál es la energía sonora total que le llega al oído?
Dato: Intensidad umbral de audición, $I_0={10}^{-12}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{B.2}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos).}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{centro}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{pista}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{baile}}\mathbf{\text{circular}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{sonora}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}100\mathrm{d}\mathrm{B}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{discoteca}}\mathbf{\text{dispone}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cuatro}}\mathbf{\text{altavoces}}\mathbf{\text{id}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{nticos,}}\mathbf{\text{todos}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{misma}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{centro,}}d=10\mathrm{m}\mathbf{\text{.}}$

Antes de empezar conviene recordar las dos magnitudes que intervienen. La intensidad sonora $I$ es la potencia que atraviesa la unidad de superficie y se mide en $\mathrm{W}\mathrm{/}{\mathrm{m}}^2$. El nivel de intensidad sonora (la sonoridad) se define en una escala logarítmica respecto a la intensidad umbral de audición $I_0$:

$\beta =10\log \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{I}{I_0}}\right)(\mathrm{d}\mathrm{B})$

Como los cuatro altavoces son idénticos y están a la misma distancia del centro, cada uno aporta la misma intensidad en ese punto, y las intensidades se suman (la intensidad es proporcional a la energía, magnitud aditiva).

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{potencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{altavoces}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto).}}$

Primero obtenemos la intensidad total que llega al centro a partir del nivel sonoro. Despejamos $I_T$ de la definición de $\beta$:

$\beta =10\log \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{I_T}{I_0}}\right)⟹{\displaystyle \frac{I_T}{I_0}}={10}^{\beta \mathrm{/}10}⟹I_T=I_0\cdot {10}^{\beta \mathrm{/}10}$

Sustituyendo los valores, con $\beta =100\mathrm{d}\mathrm{B}$ e $I_0={10}^{-12}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$:

$I_T={10}^{-12}\cdot {10}^{100\mathrm{/}10}={10}^{-12}\cdot {10}^{10}={10}^{-2}\mathrm{W}\mathrm{/}{\mathrm{m}}^2$

Esta es la intensidad total producida por los cuatro altavoces juntos. Como todos son idénticos y equidistantes, cada uno contribuye con la cuarta parte:

$I_1={\displaystyle \frac{I_T}{4}}={\displaystyle \frac{{10}^{-2}}{4}}=\mathrm{2,5}\cdot {10}^{-3}\mathrm{W}\mathrm{/}{\mathrm{m}}^2$

Ahora relacionamos la intensidad de un altavoz con su potencia. Si suponemos que cada altavoz emite de forma isótropa (la potencia se reparte por igual en todas las direcciones), a una distancia $d$ esa potencia se distribuye sobre una superficie esférica de área $4\pi d^2$. Por tanto:

$I_1={\displaystyle \frac{P}{4\pi d^2}}⟹P=I_1\cdot 4\pi d^2$

Sustituyendo los valores, con $d=10\mathrm{m}$:

$P=\mathrm{2,5}\cdot {10}^{-3}\mathrm{W}\mathrm{/}{\mathrm{m}}^2\cdot 4\pi (10\mathrm{m}{)}^2=\mathrm{2,5}\cdot {10}^{-3}\cdot 4\pi \cdot {10}^2\mathrm{W}$

$P=\pi \mathrm{W}\approx \mathrm{3,14}\mathrm{W}$

Por tanto, la potencia de cada altavoz es:

$\boxed{{\displaystyle P\approx \mathrm{3,14}\mathrm{W}}}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{o}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{do}}\mathbf{\text{humano}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}2\cdot {10}^{-4}{\mathrm{m}}^2\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{permanece}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{horas}}\mathbf{\text{bailando}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{centro,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{sonora}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{llega}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{o}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{do?}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

En el centro de la pista la intensidad sonora es la total $I_T={10}^{-2}\mathrm{W}\mathrm{/}{\mathrm{m}}^2$ calculada en el apartado anterior. La intensidad es la potencia recibida por unidad de superficie, de modo que la potencia que capta el oído de superficie $S$ es:

$P_{\text{o}\acute{\text{ı}}\text{do}}=I_T\cdot S$

Y la energía es la potencia recibida multiplicada por el tiempo de exposición:

$E=P_{\text{o}\acute{\text{ı}}\text{do}}\cdot t=I_T\cdot S\cdot t$

Pasamos primero el tiempo a unidades del SI (segundos):

$t=5\mathrm{h}\cdot {\displaystyle \frac{3600\mathrm{s}}{1\mathrm{h}}}=18000\mathrm{s}$

Sustituyendo los valores, con $S=2\cdot {10}^{-4}{\mathrm{m}}^2$:

$E={10}^{-2}\mathrm{W}\mathrm{/}{\mathrm{m}}^2\cdot 2\cdot {10}^{-4}{\mathrm{m}}^2\cdot 18000\mathrm{s}$

$E={10}^{-2}\cdot 2\cdot {10}^{-4}\cdot \mathrm{1,8}\cdot {10}^4\mathrm{J}=\mathrm{3,6}\cdot {10}^{-2}\mathrm{J}$

Por tanto, la energía sonora total que llega al oído durante las 5 horas es:

$\boxed{{\displaystyle E=\mathrm{3,6}\cdot {10}^{-2}\mathrm{J}=36\mathrm{m}\mathrm{J}}}$

Es una energía muy pequeña en términos absolutos, pero conviene observar que la intensidad de ${10}^{-2}\mathrm{W}\mathrm{/}{\mathrm{m}}^2$ está diez billones de veces por encima del umbral de audición: una exposición prolongada a $100\mathrm{d}\mathrm{B}$ resulta dañina para el oído.