Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Comunidad de Madrid · 2021

B.2 (2 puntos). Una onda transversal se propaga en una cuerda situada a lo largo del eje $x$. La propagación de la onda es en el sentido positivo del eje $x$. La expresión matemática de la onda en los instantes $t=0\mathrm{s}$ y $t=2\mathrm{s}$ es $y(x,0)=\mathrm{0,1}\cos (\pi -4\pi x)\mathrm{m}$ e $y(x,2)=\mathrm{0,1}\cos (11\pi -4\pi x)\mathrm{m}$, respectivamente, donde todas las magnitudes están expresadas en el SI de unidades. Calcule:

a) La frecuencia angular y la expresión matemática de la onda.

b) La velocidad de propagación de la onda y la aceleración máxima de oscilación de un punto de la cuerda.

Una onda armónica que se propaga en el sentido positivo del eje $x$ tiene la forma general

$y(x,t)=A\cos (\omega t-kx+{\phi }_0)$

donde $A$ es la amplitud, $\omega$ la frecuencia angular, $k$ el número de onda y ${\phi }_0$ la fase inicial. Comparando esta expresión con las que nos dan en cada instante podremos identificar todas las constantes.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{angular}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{matem}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}$

Comparamos primero la onda general con la expresión en $t=0$:

$y(x,0)=A\cos (-kx+{\phi }_0)=\mathrm{0,1}\cos (\pi -4\pi x)\mathrm{m}$

Reordenando el coseno dado, $\cos (\pi -4\pi x)=\cos (-4\pi x+\pi )$, e identificando término a término obtenemos directamente la amplitud, el número de onda y la fase inicial:

$A=\mathrm{0,1}\mathrm{m}$

$k=4\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{/}\mathrm{m}$

${\phi }_0=\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$

Para hallar la frecuencia angular usamos la expresión en $t=2\mathrm{s}$. Sustituyendo este instante en la forma general, la fase total es $\omega \cdot 2-kx+{\phi }_0$, que debe coincidir con la fase del coseno proporcionado:

$\omega \cdot t-kx+{\phi }_0=11\pi -4\pi x$

Como el término $-kx=-4\pi x$ ya coincide, igualamos las partes que no dependen de $x$ (la fase temporal más la inicial):

$\omega \cdot 2+{\phi }_0=11\pi$

Despejando y sustituyendo ${\phi }_0=\pi$:

$2\omega +\pi =11\pi \Rightarrow 2\omega =10\pi \Rightarrow \omega =5\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{/}\mathrm{s}$

Por tanto, la frecuencia angular es

$\boxed{{\displaystyle \omega =5\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{/}\mathrm{s}\approx \mathrm{15,71}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{/}\mathrm{s}}}$

y la expresión matemática completa de la onda, con todas las constantes ya determinadas, resulta

$\boxed{{\displaystyle y(x,t)=\mathrm{0,1}\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}(5\pi t-4\pi x+\pi )\mathrm{m}}}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{oscilaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cuerda.}}$

La velocidad de propagación (velocidad de fase) de una onda armónica relaciona la frecuencia angular con el número de onda mediante

$v={\displaystyle \frac{\omega }{k}}$

Sustituyendo los valores obtenidos en el apartado anterior:

$v={\displaystyle \frac{5\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{/}\mathrm{s}}{4\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{/}\mathrm{m}}}=\mathrm{1,25}\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}$

$\boxed{{\displaystyle v=\mathrm{1,25}\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}}}$

Conviene no confundir esta velocidad de propagación, constante, con la velocidad transversal de oscilación de cada punto de la cuerda. Cada partícula de la cuerda describe un movimiento armónico simple en la dirección $y$, cuya elongación es $y(x,t)$. La aceleración transversal se obtiene derivando dos veces la elongación respecto del tiempo:

$v_y={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}}=-A\omega \mathrm{sen}(\omega t-kx+{\phi }_0)$

$a_y={\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}y}{\mathrm{\partial }{t}^2}}=-A{\omega }^2\cos (\omega t-kx+{\phi }_0)=-{\omega }^{2}y$

La aceleración es máxima en módulo cuando el coseno vale $\pm 1$, es decir, en los extremos de la oscilación. Su valor máximo es, por tanto,

$a_{\max }=A{\omega }^2$

Sustituyendo los valores con sus unidades:

$a_{\max }=\mathrm{0,1}\mathrm{m}\cdot {\left(5\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{/}\mathrm{s}\right)}^2=\mathrm{0,1}\cdot 25{\pi }^2\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2=\mathrm{2,5}{\pi }^2\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2$

Operando:

$\boxed{{\displaystyle a_{\max }=\mathrm{2,5}{\pi }^2\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2\approx \mathrm{24,67}\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2}}$