Ejercicio resuelto de Física relativista · Física · 2021

A.5 (2 puntos). En un experimento realizado en un acelerador de partículas se han originado un electrón relativista de velocidad $\mathrm{0,75}c$, siendo $c$ la velocidad de la luz, y un fotón de $15\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{V}$ de energía.

a) Calcule la masa relativista y la energía cinética del electrón.

b) Determine la longitud de onda del fotón y la longitud de de Broglie del electrón.

Datos: Valor absoluto de la carga del electrón, $e=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\mathrm{C}$; Masa del electrón en reposo, $m_e=\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\mathrm{k}\mathrm{g}$; Constante de Planck, $h=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}$; Velocidad de la luz en el vacío, $c=3\cdot {10}^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{relativista}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cin}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

A velocidades comparables a la de la luz la masa de una partícula deja de ser constante y depende de su rapidez. La masa relativista se obtiene a partir de la masa en reposo $m_e$ mediante el factor de Lorentz:

$m={\displaystyle \frac{m_e}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}}}$

El electrón viaja a $v=\mathrm{0,75}c$, de modo que ${\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}=(\mathrm{0,75}{)}^2=\mathrm{0,5625}$. Sustituyendo los valores:

$m={\displaystyle \frac{\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\mathrm{k}\mathrm{g}}{\sqrt{1-\mathrm{0,5625}}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\mathrm{k}\mathrm{g}}{\sqrt{\mathrm{0,4375}}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\mathrm{k}\mathrm{g}}{\mathrm{0,6614}}}$

$m=\mathrm{13,76}\cdot {10}^{-31}\mathrm{k}\mathrm{g}$

$\boxed{{\displaystyle m=\mathrm{1,38}\cdot {10}^{-30}\mathrm{k}\mathrm{g}}}$

La masa relativista es mayor que la masa en reposo, como cabe esperar al ser $v$ una fracción apreciable de $c$ (el factor de Lorentz vale $\gamma \approx \mathrm{1,51}$).

La energía cinética relativista no es $\frac{1}{2}m{v}^2$, sino la diferencia entre la energía total $E=m{c}^2$ y la energía en reposo $E_0=m_e{c}^2$:

$E_c=m{c}^2-m_e{c}^2=(m-m_e)c^2$

Sustituyendo los valores:

$E_c=(\mathrm{13,76}\cdot {10}^{-31}-\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31})\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot {(3\cdot {10}^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1})}^2$

$E_c=\mathrm{4,66}\cdot {10}^{-31}\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot 9\cdot {10}^{16}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-2}=\mathrm{41,92}\cdot {10}^{-15}\mathrm{J}$

$\boxed{{\displaystyle E_c=\mathrm{4,19}\cdot {10}^{-14}\mathrm{J}}}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{fot}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Broglie}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Para el fotón aplicamos la relación de Planck-Einstein, que liga la energía del fotón con su frecuencia y, a través de $c=\lambda \nu$, con su longitud de onda:

$E_f=h\nu ={\displaystyle \frac{hc}{{\lambda }_f}}⟹{\lambda }_f={\displaystyle \frac{hc}{E_f}}$

Primero expresamos la energía del fotón en julios. Como $1\mathrm{e}\mathrm{V}=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\mathrm{J}$:

$E_f=15\cdot {10}^6\mathrm{e}\mathrm{V}\cdot \mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}{\displaystyle \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{e}\mathrm{V}}}=\mathrm{2,4}\cdot {10}^{-12}\mathrm{J}$

Sustituyendo los valores:

${\lambda }_f={\displaystyle \frac{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}\cdot 3\cdot {10}^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}}{\mathrm{2,4}\cdot {10}^{-12}\mathrm{J}}}$

$\boxed{{\displaystyle {\lambda }_f=\mathrm{8,29}\cdot {10}^{-14}\mathrm{m}}}$

Se trata de una longitud de onda muy corta (radiación gamma), coherente con un fotón de alta energía.

Para el electrón aplicamos la hipótesis de de Broglie: toda partícula con cantidad de movimiento $p$ lleva asociada una onda de longitud:

${\lambda }_e={\displaystyle \frac{h}{p}}={\displaystyle \frac{h}{mv}}$

Como el electrón es relativista, en el momento lineal debemos usar la masa relativista $m=\mathrm{13,76}\cdot {10}^{-31}\mathrm{k}\mathrm{g}$ calculada en el apartado a), y su velocidad $v=\mathrm{0,75}c=\mathrm{0,75}\cdot 3\cdot {10}^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}=\mathrm{2,25}\cdot {10}^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$. Sustituyendo los valores:

${\lambda }_e={\displaystyle \frac{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}}{\mathrm{13,76}\cdot {10}^{-31}\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{2,25}\cdot {10}^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}}{\mathrm{3,10}\cdot {10}^{-22}}}\mathrm{m}$

$\boxed{{\displaystyle {\lambda }_e=\mathrm{2,14}\cdot {10}^{-12}\mathrm{m}}}$

Por tanto, la longitud de onda asociada al electrón es del orden de los picómetros, mucho menor que cualquier longitud de onda macroscópica, lo que explica que el comportamiento ondulatorio del electrón solo se manifieste a escalas atómicas.