Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2021

B.5 (2 puntos). El patrón del kilogramo es un cilindro hecho con una aleación de platino-iridio ($90\mathrm{\%}$ en masa de Pt) que se encuentra en un museo de París. El platino está formado por diversos isótopos, uno de ellos, el ${}^{190}\mathrm{P}\mathrm{t}$, es radiactivo siendo su tiempo de semidesintegración de $\mathrm{6,5}\cdot {10}^{11}$ años. El porcentaje del isótopo ${}^{190}\mathrm{P}\mathrm{t}$ en una muestra de platino es del $\mathrm{0,012}\mathrm{\%}$ en masa.

a) Calcule la actividad inicial del patrón del kilogramo.

b) ¿Cuál será la masa final del platino ${}^{190}\mathrm{P}\mathrm{t}$ que queda en el patrón del kilogramo transcurridos mil millones de años?

Datos: Masa atómica del isótopo ${}^{190}\mathrm{P}\mathrm{t}$, $M=\mathrm{189,96}\mathrm{u}$; Número de Avogadro, $N_A=\mathrm{6,02}\cdot {10}^{23}\mathrm{m}\mathrm{o}{\mathrm{l}}^{-1}$.

Antes de resolver los apartados conviene calcular la cantidad de ${}^{190}\mathrm{P}\mathrm{t}$ presente en el patrón, dato común a ambos. La masa total del patrón es $1\mathrm{k}\mathrm{g}=1000\mathrm{g}$. De esa masa, el $90\mathrm{\%}$ es platino y, de ese platino, solo el $\mathrm{0,012}\mathrm{\%}$ es el isótopo radiactivo. Por tanto, la masa de ${}^{190}\mathrm{P}\mathrm{t}$ es:

$m_0=1000\mathrm{g}\cdot \mathrm{0,90}\cdot \mathrm{0,00012}=\mathrm{0,108}\mathrm{g}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{actividad}}\mathbf{\text{inicial}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{patr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{kilogramo.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La actividad de una muestra radiactiva es el número de desintegraciones por unidad de tiempo y viene dada por la ley:

$A=\lambda N$

donde $N$ es el número de núcleos radiactivos presentes y $\lambda$ es la constante de desintegración. Necesitamos, pues, ambas magnitudes.

Primero calculamos el número de átomos $N$ de ${}^{190}\mathrm{P}\mathrm{t}$. A partir de la masa $m_0$, de la masa atómica $M$ y del número de Avogadro $N_A$:

$N={\displaystyle \frac{m_0}{M}}{N}_A={\displaystyle \frac{\mathrm{0,108}\mathrm{g}}{\mathrm{189,96}\mathrm{g}\mathrm{/}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}}}\cdot \mathrm{6,02}\cdot {10}^{23}\mathrm{m}\mathrm{o}{\mathrm{l}}^{-1}$

Operando:

$N=\mathrm{3,421}\cdot {10}^{20}\acute{\text{a}}\text{tomos}$

A continuación obtenemos la constante de desintegración a partir del periodo de semidesintegración. Recordemos que $T_{1\mathrm{/}2}$ es el tiempo que tarda la muestra en reducir sus núcleos a la mitad, y se relaciona con $\lambda$ mediante:

$\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{T_{1\mathrm{/}2}}}$

Es imprescindible expresar el periodo en segundos para obtener la actividad en becquerelios ($1\mathrm{B}\mathrm{q}=1\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{i}\acute{\mathrm{o}}\mathrm{n}\mathrm{/}\mathrm{s}$). Convertimos los años a segundos:

$T_{1\mathrm{/}2}=\mathrm{6,5}\cdot {10}^{11}\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}\cdot 365\cdot 24\cdot 3600{\displaystyle \frac{\mathrm{s}}{\text{a}\tilde{\text{n}}\text{o}}}=\mathrm{2,050}\cdot {10}^{19}\mathrm{s}$

Sustituyendo:

$\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{\mathrm{2,050}\cdot {10}^{19}\mathrm{s}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,6931}}{\mathrm{2,050}\cdot {10}^{19}\mathrm{s}}}=\mathrm{3,382}\cdot {10}^{-20}{\mathrm{s}}^{-1}$

Finalmente, la actividad inicial es el producto de la constante de desintegración por el número de núcleos. Nótese que las potencias ${10}^{-20}$ y ${10}^{20}$ se cancelan, quedando un número del orden de la unidad multiplicado por diez:

$A=\lambda N=\mathrm{3,382}\cdot {10}^{-20}{\mathrm{s}}^{-1}\cdot \mathrm{3,421}\cdot {10}^{20}\acute{\text{a}}\text{tomos}=\mathrm{11,57}\mathrm{B}\mathrm{q}$

$\boxed{{\displaystyle A\approx \mathrm{11,6}\mathrm{B}\mathrm{q}}}$

El valor es moderado: aunque el periodo de semidesintegración es enorme (del orden de cientos de miles de millones de años) y en cada segundo solo se desintegra una fracción ínfima de los átomos, el número total de núcleos presentes ($\sim \mathrm{3,4}\cdot {10}^{20}$) es tan grande que el producto da del orden de una decena de desintegraciones por segundo.



La desintegración radiactiva sigue la ley exponencial. Como la masa es proporcional al número de núcleos, podemos aplicar la ley directamente a la masa:

$m=m_0{e}^{-\lambda t}$

El tiempo transcurrido es $t={10}^9$ años (mil millones de años). Lo cómodo aquí es trabajar con $\lambda$ y $t$ en las mismas unidades (años), pues el exponente $\lambda t$ es adimensional. Calculamos el exponente:

$\lambda t={\displaystyle \frac{\ln 2}{T_{1\mathrm{/}2}}}\cdot t={\displaystyle \frac{\mathrm{0,6931}}{\mathrm{6,5}\cdot {10}^{11}\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}}}\cdot {10}^9\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}=\mathrm{1,066}\cdot {10}^{-3}$

Como vemos, el exponente es muy pequeño: mil millones de años son una fracción minúscula del periodo de semidesintegración, por lo que apenas se desintegrará material. Sustituyendo en la ley exponencial:

$m=\mathrm{0,108}\mathrm{g}\cdot e^{-\mathrm{1,066}\cdot {10}^{-3}}=\mathrm{0,108}\mathrm{g}\cdot \mathrm{0,99893}$

$\boxed{{\displaystyle m\approx \mathrm{0,1079}\mathrm{g}}}$

Como anticipábamos por el valor tan reducido del exponente, la masa de ${}^{190}\mathrm{P}\mathrm{t}$ prácticamente no varía: de los $\mathrm{0,108}\mathrm{g}$ iniciales se conservan unos $\mathrm{0,1079}\mathrm{g}$, lo que confirma la enorme estabilidad de este isótopo frente a la escala de tiempo considerada.