Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2023

En un laboratorio de preparación de radiofármacos se rompe accidentalmente una ampolla de una solución que contenía ${}^{18}\mathrm{F}$ con una actividad de $\mathrm{18,5}\mathrm{M}\mathrm{B}\mathrm{q}$.

a) Calcule la masa de ${}^{18}\mathrm{F}$ derramada.

b) Determine el tiempo que ha de transcurrir hasta que la actividad se reduzca a $37\mathrm{k}\mathrm{B}\mathrm{q}$.

Datos: Vida media del ${}^{18}\mathrm{F}$, $\tau =\mathrm{109,7}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{s}$; Masa molar del ${}^{18}\mathrm{F}$, $M_F=18\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{o}{\mathrm{l}}^{-1}$; Número de Avogadro, $N_A=\mathrm{6,02}\cdot {10}^{23}\mathrm{m}\mathrm{o}{\mathrm{l}}^{-1}$.

${\mathbf{\text{A.5}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos).}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{laboratorio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{preparaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{radiof}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rmacos}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{rompe}}\mathbf{\text{accidentalmente}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{ampolla}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{conten}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}}^{18}\mathbf{\text{F}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{actividad}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{18,5}\mathbf{\text{MBq.}}$

Recordemos primero las ideas físicas que vamos a usar. La actividad $A$ de una muestra radiactiva es el número de desintegraciones por unidad de tiempo, y es proporcional al número de núcleos presentes:

$A=\lambda N$

donde $\lambda$ es la constante de desintegración (probabilidad de desintegración por núcleo y por segundo). Esta constante se relaciona con la vida media $\tau$ (tiempo medio de vida de un núcleo) mediante $\lambda ={\displaystyle \frac{1}{\tau }}$, y con el periodo de semidesintegración $T_{1\mathrm{/}2}$ por $T_{1\mathrm{/}2}=\tau \ln 2$. La unidad SI de actividad es el becquerel: $1\mathrm{B}\mathrm{q}=1\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{i}\acute{\mathrm{o}}\mathrm{n}\mathrm{/}\mathrm{s}$.

Pasamos los datos al SI:

$A_0=\mathrm{18,5}\mathrm{M}\mathrm{B}\mathrm{q}=\mathrm{1,85}\cdot {10}^7\mathrm{B}\mathrm{q}$

$\tau =\mathrm{109,7}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}=\mathrm{109,7}\cdot 60\mathrm{s}=6582\mathrm{s}$

${\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}}^{18}\mathbf{\text{F}}\mathbf{\text{derramada.}}$

Calculamos primero la constante de desintegración a partir de la vida media:

$\lambda ={\displaystyle \frac{1}{\tau }}={\displaystyle \frac{1}{6582\mathrm{s}}}=\mathrm{1,52}\cdot {10}^{-4}{\mathrm{s}}^{-1}$

Despejamos el número de núcleos $N$ presentes en el momento del derrame a partir de la definición de actividad $A=\lambda N$:

$N={\displaystyle \frac{A_0}{\lambda }}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,85}\cdot {10}^7\mathrm{B}\mathrm{q}}{\mathrm{1,52}\cdot {10}^{-4}{\mathrm{s}}^{-1}}}=\mathrm{1,22}\cdot {10}^{11}\text{n}\acute{\text{u}}\text{cleos}$

Para obtener la masa, relacionamos el número de núcleos con la cantidad de sustancia mediante el número de Avogadro y multiplicamos por la masa molar. Cada mol contiene $N_A$ átomos y tiene una masa $M_F$, de modo que la masa de un solo átomo es $M_F\mathrm{/}{N}_A$ y la masa total de los $N$ átomos es:

$m=N\cdot {\displaystyle \frac{M_F}{N_A}}$

Sustituyendo los valores (con $M_F=18\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{o}{\mathrm{l}}^{-1}$ y $N_A=\mathrm{6,02}\cdot {10}^{23}\mathrm{m}\mathrm{o}{\mathrm{l}}^{-1}$):

$m=\mathrm{1,22}\cdot {10}^{11}\cdot {\displaystyle \frac{18\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{o}{\mathrm{l}}^{-1}}{\mathrm{6,02}\cdot {10}^{23}\mathrm{m}\mathrm{o}{\mathrm{l}}^{-1}}}$

$m=\mathrm{3,65}\cdot {10}^{-12}\mathrm{g}$

Por tanto, la masa de flúor-18 derramada es minúscula (del orden del picogramo), lo cual es coherente con el hecho de que un radiofármaco contiene una cantidad química despreciable de isótopo pese a tener una actividad apreciable:

$\boxed{{\displaystyle m\approx \mathrm{3,65}\cdot {10}^{-12}\mathrm{g}}}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{transcurrir}}\mathbf{\text{hasta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{actividad}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{reduzca}}\mathbf{\text{a}}37\mathbf{\text{kBq.}}$

La actividad decae con el tiempo siguiendo la misma ley exponencial que el número de núcleos, ya que $A=\lambda N$ y $\lambda$ es constante. La ley de desintegración radiactiva es:

$A=A_0{e}^{-\lambda t}$

Imponemos que la actividad se haya reducido al valor final $A=37\mathrm{k}\mathrm{B}\mathrm{q}=\mathrm{3,7}\cdot {10}^4\mathrm{B}\mathrm{q}$ y despejamos el tiempo. Dividiendo por $A_0$ y tomando logaritmo neperiano:

${\displaystyle \frac{A}{A_0}}=e^{-\lambda t}⟹\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{A}{A_0}}\right)=-\lambda t$

$t={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{A_0}{A}}\right)$

Observamos que la actividad se reduce en un factor ${\displaystyle \frac{A_0}{A}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,85}\cdot {10}^7}{\mathrm{3,7}\cdot {10}^4}}=500$. Sustituyendo los valores:

$t={\displaystyle \frac{\ln (500)}{\mathrm{1,52}\cdot {10}^{-4}{\mathrm{s}}^{-1}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,215}}{\mathrm{1,52}\cdot {10}^{-4}{\mathrm{s}}^{-1}}}$

$t=\mathrm{4,09}\cdot {10}^4\mathrm{s}$

Expresamos el resultado en horas para interpretarlo mejor, dividiendo entre $3600\mathrm{s}\mathrm{/}\mathrm{h}$:

$t={\displaystyle \frac{\mathrm{4,09}\cdot {10}^4\mathrm{s}}{3600\mathrm{s}\mathrm{/}\mathrm{h}}}=\mathrm{11,4}\mathrm{h}$

Es decir, deben transcurrir algo más de once horas para que la actividad descienda hasta el valor de seguridad indicado. Este resultado equivale a unas $t\mathrm{/}\tau \approx \mathrm{6,2}$ vidas medias o, de forma equivalente, a unos $t\mathrm{/}{T}_{1\mathrm{/}2}\approx 9$ periodos de semidesintegración (el periodo es $T_{1\mathrm{/}2}=\tau \ln 2\approx 76\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}$), lo cual es coherente con que $2^9=512\approx 500$:

$\boxed{{\displaystyle t\approx \mathrm{4,09}\cdot {10}^4\mathrm{s}\approx \mathrm{11,4}\mathrm{h}}}$